Diskussion:Zustand (Quantenmechanik)

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Einleitung, Zeitentwicklung und Abschluss

"Ein Zustand beschreibt in der Quantenphysik ein Teilchen oder ein Mehrteilchensystem." Dieser Einleitungssatz legt für mich die Vermutung nahe, das jedes System durch nur einen Zustand beschrieben wird. Tatsächlich werden Systeme doch aber durch die Gesamtheit aller möglichen Zustände beschrieben, von denen sie zu einem gegebenen Zeitpunkt immer nur einen einnehmen können.

Ob sich ein Zustand mit der Zeit ändert, hängt vom verwendeten Bild (Formulierung der QM) ab. Im Schrödingerbild ist die Zeitentwicklung, wie im Artikel beschrieben, durch die Schrödingergleichung gegeben, im Heisenbergbild ändert sich ein Zustand nicht mit der Zeit. http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Zustand_(Quantenmechanik)&action=edit&section=3 Der letzten Absatz taucht ein wenig in die mathematische Struktur ein und erklärt Zustände als Vektoren (obgleich diese Bezeichnung schon früher im Text auftritt). Die anschließende Information, dass nicht alle Zustände als Vektoren darstellbar sind, könnte noch ein wenig umfangreicher sein. So wäre es gut kurz zu erfahren, wann Dichtematrizen verwendet werden und wann selbst dies Beschreibung fehlschlägt. In diesem Zusammenhang könnte auch auf reine Zustände sowie Mischung, Überlagerung und Verschränkung eingegangen oder verwiesen werden. --87.177.189.38 00:49, 6. Mär. 2009 (CET)

Zustand als Ausgangspunkt für die Vorhersage der zeitlichen Entwicklng hab ich jetzt deutlich eingebaut, bin aber strikt beim Schrödingerbild geblieben, weil andere Bilder in der Einleitung kaum verständlich gemacht werden könnten (ich kanns jedenfalls nicht).--jbn 02:07, 25. Jan. 2012 (CET)

Ganz unglücklich finde ich den letzten Satz der Einleitung, über die Streuung der Messwerte. Das muss man doch an einer Beziehung zwischen 1 Zustand und 1 Observablen begründen, nicht über den viel weiteren Zusammenhang mit nicht-vertauschbaren Operatoren. Also: Wenn der Zustand Eigenzustand zur Observablen ist, dann streuen die Messwerte nicht, andernfalls streuen sie sicher. Irgendwelche Einwände?--jbn 02:07, 25. Jan. 2012 (CET)

Den zweiten Teil der Einleitung habe ich jetzt so abgeändert, wie es mir der lokalen Erklärungstiefe entsprechend angemessen scheint. - Die Redundanz zu Quantenmechanik#Observable und Zustände ist ja beträchtlich, auch im ganzen weiteren Artikel, da sollte man mal Ordnung schaffen (wobei zwei Artikel ja sinvoll sein können, z.B. mit unterschiedlichem Anspruch an den Leser).--jbn 18:26, 27. Jan. 2012 (CET)

Reiner Zustand ≠ Eigenzustand

In die Einleitung hat sich nun ein falscher Satz eingeschlichen:

„Das bedeutet insbesondere, dass reine Zustände Eigenzustände aller Observablen sind und durch deren Eigenwerte bestimmt sind.“

Superpositionszustände $|\psi >=\sum \alpha _{n}|n>$ sind reine Zustände, obwohl sie keine Eigenzustände $|n>$ sind. Der o.g. Satz gilt nur für ganz bestimmte Observablen, nicht allgemein. Ich entferne den Satz daher.-- Belsazar 17:45, 10. Jan. 2010 (CET)

Äh, Du hast recht, dass mein Satz so nicht stimmt! Da muss noch eine Auswahl an Observablen getroffen werden (vollständig und unabhängig/vertauschbar?). Aber Deine Begründung gefällt mir nicht ganz: Superpositionszustände sind i.A. keine reinen Zustände (lass Deine $|n>$ doch mal gerade die Energieeigenzustände eines Harmonischen Oszillators sein...). Also was wir einfangen müssen, wäre dass Eigenzustände von $L_{z}$ zwar reine Zustände, aber dennoch Superpositionen sind (z.b. von Eigenzuständen bzgl. $L_{x}$). Kannst Du bitte eine korrekte Formulierung meines Satzes einbauen. --Dogbert66 18:10, 10. Jan. 2010 (CET)

Superpositionszustände, wie z.B. die Überlagerung der Energieeigenzustände eines harmonischen Oszillators, sind reine Zustände. Siehe z.B. hier (Formel 2.24 und die Zeilen davor).-- Belsazar 18:55, 10. Jan. 2010 (CET)

Danke, dass Du die Refernz angegeben hast: Schlosshauer Decoherence and the quantum-to-classical transition . Dir ist schon aufgefallen, dass das Kapitel über ein Teilsystem zweier verschränkter Systeme zu sprechen scheint? Davon hat aber die ganze Diskussion über "Reiner Zustand" bisher noch nichts erwähnt. Können wir die Diskussion bitte wieder auf die QS verlagern. --Dogbert66 22:00, 10. Jan. 2010 (CET)

Am Anfang dieses Kapitels wird das Konzept des gemischten Zustands anhand des Beispiels eines einfachen Spin-1/2-Systems dargestellt (siehe 2. Abschnitt in Kap. 2.4.2 und Abb. 2.3). Es folgt dann zwar ein kurzer Exkurs zu verschränkten Systemen, die Aussage zu Gl. 2.24 gilt aber allgemein. Da wir auf der QS-Seite bislang nicht ins Detail eingestiegen sind, würde ich eher hier diskutieren, wir können dort aber nochmal versuchen, eine 3. Meinung einzuholen.-- Belsazar 20:51, 11. Jan. 2010 (CET)

P.S.: Kannst Du Deine auf der QS-Seite erwähnten Quellen Shankar / Sakurai präzisieren (Auflage, Seite/Kapitel)? Dann könnte ich versuchen, das nachzuvollziehen.-- Belsazar 20:57, 11. Jan. 2010 (CET)

Habe mal in den beiden Büchern nachgeschaut. In Sakurai (revised ed., 1994) wird der Zustand $|\alpha >=c_{+}|+>+c_{-}|->$ als der allgemeinste bis dahin beschriebene quantenmechanische Zustand eines Spin 1/2 Systems bezeichnet (Gl. 3.4.1 auf S. 174). Im Folgenden erläutert Sakurai ausführlich, dass dies kein gemischter, sondern ein reiner Zustand ist. Shankar gibt für das Thema IMHO nichts her (dort ist die Dichtematrix nur sehr oberflächlich beschrieben, die Überschrift "The density matrix - a digression" sagt eigentlich schon alles).-- Belsazar 21:51, 11. Jan. 2010 (CET)

Für den Fall, dass kein Magnetfeld eine Richtung vorgibt, ist die Wahl einer Basis, |+> und |->, willkürlich. Kann also nicht sein, dass dann nur diese beiden Zustände rein sein sollten. Habe ich das richtig verstanden? – Rainald62 22:45, 11. Jan. 2010 (CET)

Bin nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe. Nehmen wir mal die Emission von Elektronen aus einer Kathode, ohne weitere Präparation mit Magneten. Der Zustand dieser Elektronen wäre ein typischer gemischter Zustand. Dieser kann nicht durch $|\alpha >=c_{+}|+>+c_{-}|->$ beschrieben werden. Ein Zustand der Form $|\alpha >=c_{+}|+>+c_{-}|->$ setzt hingegen immer ein bestimmtes Präparationsverfahren voraus, ein solcher Zustand ist vollständig bestimmt (wenn die Koeffizienten bekannt sind).-- Belsazar 23:20, 11. Jan. 2010 (CET)

Jetzt, da der Zustand von Reiner Zustand wieder ≠ Redir ist, kann ich nachlesen, was ein unreiner Zustand ist (Wie könnte man sonst verstehen, was rein bedeutet?): Die Unreinheit besteht im Unwissen über die Zusammensetzung des Ensembles. Frage erledigt. Neue Frage: Da verschiedene Personen verschiedenes Wissen über ein Ensemble haben können, kann dann der Zustand des Ensembles gleichzeitig rein und unrein sein? – Rainald62 00:06, 12. Jan. 2010 (CET)

Nein! "Reinheit" eines quantenmechanischen Zustandes ist objektiv.  Genauer:
Der Ausdruck "Wissen" entspricht in der Quantenmechanik nicht dem, was "Otto Normalverbraucher" davon zu wissen glaubt ("Verschiedene Leute können Verschiedenes wissen"). Vielmehr: Quantenmechanische "Reinheit" ist nicht subjektiv, sondern das Vorliegen eines Reinen Zustandes entspricht in der Quantenmechanik der Aussage, dass ein Zustand vorliegt, der durch einen einzigen Hilbert-Vektor beschrieben werden kann: also selbst der Ausdruck $|\psi \rangle \,:=\,c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$ mit ein oder zwei oder mehr von Null verschiedenen Größen c₁ und c₂ ist "rein" (quantenmechanische "kohärente(!) Superposition" der "Amplituden" $|\psi _{j}\rangle$).
Dagegen beschreibt die Dichtematrix $\rho =p_{1}{\mathcal {P}}_{1}+p_{2}{\mathcal {P}}_{2}\,,$ mit ${\mathcal {P}}_{j}=|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|\,,$ einen sog. "unreinen Zustand", sobald p₁ und  p₂ von Null verschieden sind. Selbst bei Vorliegen eines reinen Zustandes ist das Resultat einer quantenmechanischen Messung nicht sicher; mit Wahrscheinlichkeit |c_i|2 kommt a_i heraus (i=1,2). Dagegen ist bei "unreinen Zuständen" noch nicht einmal sicher, welcher reine Zustand vorliegt. Genauer: Es herrscht "Unkenntnis", ob ${\mathcal {P}}_{1}$ oder ob ${\mathcal {P}}_{2}$ vorliegt, man kann nur angeben, mit welche Wahrscheinlichkeit p_i sie vorliegen (quasi-klassische inkohärente(!) Superposition der "Intensitäten" ${\mathcal {P}}_{j}=|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|).$
Also: Die "Reinheit" eines quantenmechanischen Zustandes ist zugleich sehr kompliziert und doch objektiv-einfach. Oder: Quantenmechanik ist keine klassische Physik. -- MfG, Meier99 13:05, 1. Aug. 2010 (CEST)

Das ist ein Thema, welches sich nicht interpretations-unabhängig diskutieren lässt:

• Beispielsweise gibt es in der viele-Welten-Interpretation keine eigentlichen gemischten Zustände (im englischen: "proper mixtures"), nur einen einzigen universalen reinen Zustand, wobei für Subsysteme scheinbare gemischte Zustände (im englischen: "improper mixtures") definiert werden können.
• In manchen informationstheroetisch basierten Interpretationen werden selbst reine Zustände der subjektiven Einschätzung eines rationalen Agenten zugeordnet.
• Die im vorherigen Beitrag getroffene Aussage zur "objektiven Reinheit" ist immer problematisch, da sich bei einem unbekannten Zustand, d.h. einem Zustand, dessen Präparation nicht bekannt ist, nicht ermitteln lässt, ob es ein gemischter oder ein reiner Zustand ist. Das ist eine Implikation des no-cloning-Theorems bzw. des no-signalling-Theorems und wird u.a. in der Quantenkryptographie ausgenutzt.-- Belsazar 14:02, 1. Aug. 2010 (CEST)

Bemerkung zur Literatur

Dass die Standardlehrbücher nur reine Zustände behandeln, kann ich nicht finden. Ich habe mal Schiff und Messiah (Bd.1) herausgegriffen, da werden auch gemischte Zustände und Dichtematrizen behandelt.--Claude J 12:52, 29. Jun. 2010 (CEST)

Phasenfaktor

Im Abschnitt Eigenschaften fehlt mir der Hinweis auf den Begriff Phasenfaktor. Der ist z.B. wichtig für die Charakterisierung der stationären Zustände. Ich habs kurz eingefügt.--jbn 13:38, 22. Nov. 2011 (CET)

Außerdem hab ich die Überschrift geändert (im Artikel gibt es noch mehrere Überschriften, die nicht so genau auf den Inhalt hinweisen. Das kann gut für ein Lehrbuch sein, aber wohl nicht so gut für ein Lexikon.) Auf die neue Überschrift wird vom Artikel Quantenmechanik aus verlinkt.--jbn 11:27, 23. Nov. 2011 (CET)

Wahrscheinlichkeitsamplituden?

Im Abschnitt Eigenschaften werde falsch die Strahlen im Hilbertraum als Warscheinlichkeitsamplituden bezeichnet. Ein Strahl ist immer ein (reiner) Zustand, die W-Amplitude ist der Koeffizient vor einem Basisvektor des Strahls, wenn eine Linearkombination mit anderen gebildet wird (wobei ein Hinweis auf Orthogonormiertheit eigentlich nötig wäre, sonst ist es nicht die W-Amplitude.) Korrigiert.--jbn 14:30, 22. Nov. 2011 (CET)

Bra und Ket - auf Wellenfunktion beziehen

Da weiter unten schon von Wellenfunktion geredet wird, sollte man deren Zusammenhang mit der bra/ket-Notation erwähnen (und das im Abschnitt Beispiele berichtigen).--jbn 11:43, 23. Nov. 2011 (CET)

Eigenzustand / Notation

Wegen Diskussion zu quantenzahl hab ich hier bei Notation etwas deutlicher den Eigenzustand eingeführt.--jbn 13:49, 2. Dez. 2011 (CET)

Zustandsgemisch und Dichtematrix etc.

Dass die Qu-Statistik eine Verallgemeinerung der Qu-Mechanik sei, kann ich nicht finden. Sie ist statistische Physik auf der Grundlage der Qu-Mechanik. - "gemischte Zustände" eliminiert zugunsten von " Zustandsgemische", weil immer wieder mit kohärenten Überlagerungszuständen verwechselt.- DA könnte noch mancher Satz vereinfacht werden. Was soll z.B. das \psi = \psi_1?--jbn 04:58, 3. Feb. 2012 (CET)

dass "bei oftmaliger Wiederholung" verschiedene Messergebnisse herauskommen, liegt nicht an "der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik (siehe Kopenhagener Interpretation)" , sondern an der Natur. - Gestrichen.--jbn (Diskussion) 17:25, 2. Mär. 2012 (CET)

Einleitung überarbeitet

Die Einleitung (obwohl von mir selber) ging mir zu schnell ins Detail. Die neue Fassung versucht, mehr Klarheit über die Grundlagen zu verbreiten (auch angesichts der Debatten unter Wiki-Autoren s.o.). Der weitere Artikel sollte dann angepasst werden.--jbn (Diskussion) 17:23, 2. Mär. 2012 (CET)

Mathematische Darstellung

Den früheren Abschnitt Notation in Mathematische Darstellung umbenannt und der neuen Einleitung (die im wesentlichen keine Mathematik enthalten sollte) entprechend ausgeführt, dabei auf direkten Bezug zum Lemma Zustand geachtet, d.h. vieles Interessante zu Operatoren etc. wegggelassen. - Überarbeitung der folgenen Abschnitte wird folgen.--jbn (Diskussion) 16:07, 3. Mär. 2012 (CET)

Spinzustände vieler Elektronen

Ich habe eine etwas spezielle, aber dennoch grundsätzliche Frage. Nehmen wir an, N Elektronen werden durch ein inhomogenes Magnetfeld gejagt, um ihren Spin zu messen. Dabei komme heraus, dass ziemlich genau die Hälfte "up" und die Hälfte "down" liefert. Nun muss man davon ausgehen, dass jedes Elektron sich vor der Messung ihres Spins in einem Zustand $\alpha |\uparrow \rangle +\beta |\downarrow \rangle$ befindet, wobei $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ ist. Meine Frage läuft darauf hinaus, ob man davon ausgehen muss, dass $|\alpha |=|\beta |={\frac {1}{\sqrt {2}}}$, oder davon, dass die Beträge der Vorzeichen für die einzelnen Elektronen jeden geeigneten Wert annehmen, also z.B. auch Kombinationen wie $|\alpha |={\frac {1}{\sqrt {99}}},|\beta |={\frac {1}{\sqrt {10}}}$ vertreten sind (ebenso wie umgekehrt)? Lässt sich diese Frage experimentell überhaupt klären, und wenn ja, wie?--Slow Phil (Diskussion) 19:19, 10. Apr. 2012 (CEST)

Sieh mal bitte Dichteoperator#Beispiel: Dichteoperator und Dichtematrix für Elektronen-Polarisation an und gib hier eine Rückmeldung. Das ist auch eine gute Probe, ob der Artikel nachvollziehbar ist (wenn schon sicher nicht für OMA, dann aber hoffentlich für OPA - Leser mit ordentlicher Physik-Ausbildung). Ich bin gespannt. --jbn (Diskussion) 10:37, 11. Apr. 2012 (CEST)

Ich habe das Gefühl, den Formalismus zwar zu verstehen, aber gleichzeitig finde ich darin keine wirklich klare, eindeutige Antwort auf meine Fragestellung. Vielleicht habe ich auch nur ein Brett vorm Kopf. Unter "unpolarisiertes Ensemble" findet sich ein Hinweis darauf, dass es anscheinend einerlei ist, ob alle Elektronen den Zwischenzustand oder je 50% einen der eindeutigen Zustände (offenbar die Eigenzustände) einnehmen. Wenn das stimmt, ist meine Frage teilweise beantwortet. Bleibt die Frage, ob auch andere Zahlen als ${\frac {1}{2}}$ in der Dichtematrix möglich sind, d.h. ob auch ein Ensemble denkbar wäre, in dem es noch weitere Aufteilungen in noch viel mehr Gruppen gibt, die sich ebenso verhalten wie ein im Zustand ${\sqrt {\frac {1}{2}}}|\!\!\downarrow \rangle +{\sqrt {\frac {1}{2}}}|\!\!\uparrow \rangle$ befindliches Ensemble.--Slow Phil (Diskussion) 20:03, 23. Apr. 2012 (CEST)

Betrachtet man statt Elektronen z.B. Deuteronen (Spin 1), dann gibt es drei statt zwei Zustände. Die Polarisation wird dann durch einen Tensor statt Vektor beschrieben.--UvM (Diskussion) 20:31, 23. Apr. 2012 (CEST)

Sie meinen drei statt zwei Basiszustände, in denen man einen Gesamtzustand entwickeln kann. Das ist mir bekannt; je größer der Spin, desto mehr Möglichkeiten der Orientierung relativ zu einer bestimmten Achse. Wieso aber heißen eigentlich Spin-1-Teilchen Vektorbosonen und erst Spin-2-Teilchen Tensorbosonen, wenn man ein Spin-1-Teilchen nur mit einem Tensor vollständig beschreiben kann?--Slow Phil (Diskussion) 21:34, 23. Apr. 2012 (CEST)

@SlowPhil: " ... ob alle Elektronen den Zwischenzustand oder je 50% einen der eindeutigen Zustände ..." - das ist eine schlechte Formulierung. Dein "Zwischenzustand" hier ist auch ein "eindeutiger" Eigenzustand, nämlich zu $\sigma _{x}$ (oder zu $\sigma _{z}$, wenn man vorher die z-Achse in diese Richtung gedreht hätte). -- Eine Dichtematrix, die nicht nur Elemente 1/2 hat, steht z.B. unter "Gemisch verschiedener Polarisationsrichtungen".

Ich weiß nicht, ob ich es korrekt verstanden habe. Ich nehme z.B. an, dass die z-Richtung die Richtung des Magnetfeldes ist, relativ zu dem die Spinorientierung gemessen wird. Ferner nehme ich an, dass dann, wenn man zuvor die x-Komponente des Spins gemessen und aussortiert hat, sicher sein kann, einen reinen Zustand und kein statistisches Gemisch vor sich zu haben. Stimmt das? Und kann ein einzelnes Quant sich in einem Zustandsgemisch befinden?--Slow Phil (Diskussion) 16:07, 13. Jun. 2012 (CEST)

Vektor/Tensor: Spin 1/2 ist der Drehimpuls, der der Vorstellung von einem Vektor im R^3 am nächsten kommt (siehe Spin). Man kann auch jede Dichtematrix von Spin-1/2-Teilchen mit einem einzigen Polarisationsvektor wiedergeben ($\rho =1/2\cdot (1+{\vec {P}}\cdot {\vec {\sigma }})$). Bosonen mit Spin 1/2 gibt es nicht, da ist das erste, was nicht skalar ist, schon Spin 1. Ob das Grund für die Namensgebung ist, weiß ich aber nicht. --jbn (Diskussion) 23:25, 23. Apr. 2012 (CEST)

Habe meines Wissens verstanden, aber noch eine Frage zum Zustandsgemisch ist aus meiner Sicht ungeklärt

Ich habe es jetzt wie folgt verstanden: Jede beliebige Linearkombination der Form

$\alpha _{1}\vert \!\uparrow \rangle +\alpha _{2}\vert \!\downarrow \rangle ,\alpha _{a=1,2}\in \mathbb {C} ,\sum _{a=1}^{2}{\alpha _{a}^{*}\alpha _{a}}=1$

ist nicht nur ein Reinzustand, sondern in jedem Fall zugleich ein Eigenzustand zu einer geeigneten Linearkombination der Pauli-Matrizen bzw. der Spinmatrizen

${\hat {S}}_{a=1,2,3}={\frac {\hbar }{2}}{\hat {\sigma }}_{a}$,

d.h. nur die Richtung der Achse, auf die der Spin projiziert wird, ist halt eine andere als die Z-Achse, und sie liegt bei

$\vert \alpha _{a=1,2}\vert \notin \left\lbrace {\frac {1}{\sqrt {2}}},1\right\rbrace$

halt einfach schräg, richtig. Was bleibt, ist die Frage, ob der Spinzustand eines einzelnen Elektrons (oder sonstigen Spin-1/2-Fermions) mit ungemessenem Spin für sich schon ein Zustandsgemisch sein kann.--Slow Phil (Diskussion) 13:31, 1. Okt. 2012 (CEST)

Berechnen können?

Hallo Chricho, im 1. Satz hast Du was geändert. Da gibt es aber einen kleinen, mir wichtigen semantischen Unterschied zwischen "kann man berechnen" und "ist festgelegt". Es geht um die subtile Hierarchie zwischen Theorie und Experiment. Ich bemühe mich überall, dem falschen Eindruck entgegen zu formulieren, bestimmte MEssergebnisse seien so und nicht anders, weil die oder jene theoretische Formel sie so "festlegt". Umgekehrt wird ein Schuh draus: die Ergebnisse gibt es schon vor der Formel, und die Formel ist danach gemacht, dass man aus ihr die Ergebnisse berechnen kann. Andernfalls muss man sie wegschmeißen (die Formel natürlich). Daher fand ich die vorherige Version besse. Soviel zum Prinzip; und konkret: welches Beispiel zeigt, dass man da was i.a. nicht berechnen kann? Mir fällt da wirklich nichts zu ein. - Aber da ich Dich schon als großen Liebhaber sehr theoretischer Formulierungen kenne, werden wir da wohl genüsslich streiten können. Alles Gute auch! --jbn (Diskussion) 11:49, 18. Dez. 2012 (CET)

Formulierungsfrage

Bei Superposition steht, "Zu beachten ist hierbei jedoch, dass die quantenmechanischen Wellenfunktionen... noch keine „reale“ Bedeutung haben."

Hier steht: "(Interferenzeffekte)... erzwingen aber die Möglichkeit, dass ... " Mir ist bewußt, daß Alltagssprache in der Quantenmechanik meist ungeeignet ist- dennoch - zwingend bedeutet unausweichlich, unbedingt erforderlich meist etwas "Reales" (?). und Möglichkeit eine Option. Wie ist eine Möglichkeit erzwingen hier nun wirklich gemeint?--91.34.215.252 17:50, 7. Feb. 2015 (CET)

Eineindeutigkeit des mathematischen Begriffs?

Mir fällt auf, dass die Zuordnung von physikalischem Zustand und seiner mathematischen Beschreibung überall - so auch hier - unsauber behandelt wird, und zwar hinsichtlich der quantenmechanischen Phase. Offenbar gehört sie zum Zustand, weil die kohärente Überlagerung zweier Zustände sonst nicht beschrieben werden kann, aber dann ist durch eine (vollständige) Messung der Zustand ebenso offenbar gar nicht festgelegt, sondern nur ein 1-dim Unterraum des Hilbertraums, aus dem man gleichberechtigt jeden beliebigen Einheitsvektor auswählen und damit weiter rechnen kann. Bringt das nicht die Phase doch ganz in die Nähe einer verborgenen Variable? Meine Frage in die Runde: wird diesem Mangel denn durch die vornehme und tiefschürfende mathematische Definition abgeolfen? (Ich meine C*-Algebra & Co, die mir überhaupt nicht geläufig sind.) Wenn nicht, würde ich vielleicht diesen edlen Absatz in normaleres Physikerdeutsch zurückholen wollen. Und das angesprochene Problem vielleicht mal klar aussprechen. (Quellen/Belege dazu hab ich nicht.) --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:30, 18. Apr. 2019 (CEST)

C* algebren sind da nicht nötig. Die "globale Phase" eines Zustandsvektors im Hilbertraum hat keiner physikalische Bedeutung; manchmal assoziiert man daher (reine) Zustände mit Strahlen im Hilbertraum (dann ist die Beziehung eindeutig, siehe z.B. Hugo Reinhardt: Quantenmechanik 1: Pfadintegralformulierung und Operatorformalismus. (google.de). ). Wenn man Zustände durch Dichtematritzen oder -operatoren darstellt, kommt eine "globale Phase" erst gar nicht vor und man hat eindeutige Beziehungen "qm Zustand" <-> "Dichteoperator". Im C*-algebraischen Rahmen ist der Zustand ein normiertes, positives Funktional auf der Observablenalgebra, auch da gibt es die "Uneindeutigkeit" der Phase nicht.

Ich würde mir im Artikel eine etwas operationellere Handhabung des Zustandsbegriffs wünschen: der Zustand eines physikal Systems gibt an (1) wie es präpariert wurde und (2) welche Messresultate man von diesem System erwartet: der Zustandsvektor bzw die Dichtematrix kann man schlicht (und vollständig) als Liste der Erwartungswerte eines vollständigen Satzes von Observablen ansehen ($\rho _{ij}=\langle \,|i\rangle \langle j|\,\rangle _{\rho }$,...); die globale Phase kommt aus diesem Blickwinkel gar nicht vor, weil man sie weder präparieren noch messen kann. --Qcomp (Diskussion) 01:03, 19. Apr. 2019 (CEST)

Danke für die Klarstellung. Dann wird der Zustand zur Linearkombination $a|\psi >+b|\phi >$ also eineindeutig durch die Dichtematrix aus $|a|^{2},a^{*}b,b^{*}a,|b|^{2}$ beschrieben, was nur den darstellungs-didaktischen Nachteil hat, dass man darin nicht sofort eine "Kohärente Überlagerung zweier Felder (oder Wellen) " erkennt. Vielleicht achte ich mal in den Texten auf sauberere Verwendung der Begriffe. - Zum Begriff von Zustand allgemein haben wir übrigens in Zustand (Physik) versucht eine Rahmendefinition zu geben. Und zu den C*-Algebren: hält irgendjemand hier diesen Absatz nicht für leicht überzogen?--Bleckneuhaus (Diskussion) 13:06, 19. Apr. 2019 (CEST)

man kann die kohärente Überlagerung schon auch sehen: alles, was in einer gegeben Basis nicht diagonal ist, enthält bis zu einem gewissen Grad "Kohärenz" zwischen den Basiszuständen (vgl. Literatur zur Ressourcentheorie der Kohärenz). Wenn man reine Zustände als Projektoren einführen würde, wäre vllt etwas weniger von der (meist missverständlichen) Rede von "das Elektron ist sowohl hier wie dort": |L>+|R> sieht aus, als we das irgendwie die Summe der zwei Zustände, aber (|L>+|R>)(<L|+<R|) kann nicht als Summe von |R><R| und |L><L| geschrieben werden). Aber da der Hilbertraum-Formalismus der übliche Zugang ist, ist es nicht Job der WP, das anders zu machen.

und ja, der Abschnitt "Mathematische Darstellung" ist nicht ideal. Hier ein paar Überlegungen zu möglichen Verbesserungen:

1. Man könnte damit anfangen, dass es verschiedene mathematische Formalismen von zum Teil unterschiedlicher Allgemeinheit gibt und dass man mit dem allgemeinsten anfängt (und später die Verbindung zu wichtigen Spezialfällen herstellt). Etwa so:

   Ausgehend von der mathematischen Beschreibung quantenmechanischer Observablen durch (im allgemeinen nicht miteinander kommutierende) Operatoren, ordnet dann ein Zustand $\psi$jeder Observablen $A$ ihren Erwartungswert $\psi (A)$ zu.

   Oft betrachtet man den Fall, dass die Observablen eine C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ bilden. Dann wird ein quantenmechanischer Zustand $\psi$ mathematisch durch ein normiertes positives Funktional auf der Algebra der Operatoren beschrieben. D. h., Zustand

   $\psi :{\mathcal {A}}\to \mathbb {C} \,\,A\mapsto \psi (A)$

   erfüllt die Positivitäts- und Normierungsbedingungen $\psi (AA^{*})\geq 0\forall A\in {\mathcal {A}}$ und $\psi (\mathbf {1} )=1$, wobei $\mathbf {1}$ im Argument des Funktionals das Einselement der Algebra ist. (Walter Thirring: Quantenmechanik von Atomen und Molekülen. In: Lehrbuch der Mathematischen Physik. 3. Auflage. Band 3. Springer, Wien 1994, ISBN 978-3-211-82535-8, S. 26. )

2. Dann könnte man die Abschnitte zur Konvexität und zur GNS-Darstellung unter "Mathematische Implikationen" zusammenfassen (um sie von den o.g. "Grundlagen" abzusetzen).
3. Das, was unter "Physikalische Implikationen" steht, hat mit "physikalischen Implikationen" nichts zu tun. Man könnte es als "Spezialfall: Hilbertraum-Darstellung reiner Zustände" bezeichnen - aber dafür, dass das der gebräuchlichsten darstellung entspricht und für die Länge des Abschnitts wäre das eine vllt unpassend versteckte Position.
4. Möglicherweise sollte man die Reihenfolge besser umkehren. Erst einen kurzen Einleitungsabstaz, dass es qm Zustände mathematisch durch eine Reihe unterschiedlicher Objekte (verschiedener Allgemeinheit) repräsentiert werden. Dann mit dem einfachsten Spezialfall des reinen Zustands im endlich-dimensionalen Hilbertraum beginnen, einen Abschnitt zur Verallgemeinerung auf unendliche-dimensionale, einen weiteren zur Verallgemeinerung auf gemischte Zustände. Und dann mit der Verallgemeinerung auf Funktionale und C*-Algebren abschliessen, die dann auch Zuständer der Quantenfeldtheorie, nicht-reguläre Zustände und Zustände, die nicht (als Dichteoperatoren) auf denselben Hilbertraum passen (wie thermische Zustände unterschiedlicher Temperatur) umfassen. Mit der GNS-Darstellung kann dann am Ende wieder der Bogen zurück geschlagen werden.
5. Den Abschnitt Messung würde ich hier rausnehmen. Stattdessen schienen mir 2-3 weitere Abschnitte (auf derselben Ebene wie "Mathematische Darstellung") nötig: (1) Welche Aussagen macht der Zustand über Messungen am System? (Aussage über Erwartungswerte, mit Bezug zur Wahrscheinlichkeit bestimmter Messwerte (via Erwartungswert der Eigenprojektoren) (2) Wie werden Zustände transformiert (Präparation, Modifikation durch Messung, durch Zeitentwicklung im geschlossenen (unitär) und offenen (vollständig positiv + darüberhinaus) System in der Bemerkung, dass es dafür Geschwindigkleitsbegrenzungen gibt, liesse sich dan endlich der verwaist-Status des Margolus-Levitin-Theorems beheben ;-)) und (3) Wie wird der Zustand interpretiert? (Zustand "real" oder nur "unsere Kenntnis/Beschreibung" des Systems?), ggf kurze Bemerkungen zu Kopenhagen, Qubism, Bohm hauptsächlich Verweis auf Interpretationen der Quantenmechanik).
6. Nebenbei kommt mit vor, dass im Einleitungsabschnitt zu prominent auf die Kopenhagener Deutung verwiesen wird. <90% des Artikels sind Interpretations-unabhängig, dort könnte man aber den Eindruck bekommen, dass vieles nur im Rahmen dieser Interpretation zu verstehen sei.
7. wären evt nicht auch noch Abschnitte zu (a) wie bestimmt man den Zustand (Quantentomographie) und (b) wie unterscheidet man Zustände (state discrimination, fidelity) nützlich? Und vielleicht auch (c) einer über die Komplexität von Zuständen in Vielteilchensystemen: einerseits, dass der mathematische Aufwand zur Bescreibung eines solchen Zustands exponentiell mit der Zahl der Bestandteile anwächst, was die numerischen Bahandlung selbst kleiner Vielteilchensysteme stark erschwert, aber auch die Grundlage für den möglichen Speedup durch Quantencomputing und Quantensimulation ist. andererseits, dass die meisten Zustände im Hilbertraum eines Vielteilchensystems so komplex sind, dass sie mit natürlich vorkommenden (d.h., kurzreichweitigen) Wechselwirkungen exponentiell aufwendig herzustellen sind (auch in einem Quantencomputer stellen die mit polynomialem Aufwand (in der Zahl der Qubits) präparierbaren Zustände eine kleine Untermenge des Hilbertraums dar), was Grundlage die Leistungsfähigkeit von Näherungs/Variationsmethoden, die auf einfachen Zustandsklassen (Hartree-Fock, DMRG, MPS, PEPS,...) darstellt.

das wäre natürlich ein grösserer Umbau, und ob (und wie) der sinnvoll ist, sollten wir vllt erst hier zu diskutieren. Meinungen? --Qcomp (Diskussion)

Schön, dass sich da mal ein Sachkundiger reinhängt. Ich muss gestehen, schon bei "... ordnet man jeder Observablen $A$ ihren Erwartungswert $\psi$ zu" zu stolpern, weil ich die Hierarchie der Definitionen von Zustand und Erwartungswert umgekehrt verstehe. Vielleicht kannst Du von der Ebene her auch bei der Klärung von etwas anderem helfen: nämlich ob folgender Versuch das richtige trifft: "Ein klassischer Zustand ist durch die Angabe der vorliegenden Werte zweier konjugierter Variablen (zB Ort, Impuls) gegeben, ein qm Zustand durch die Angaben der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Messwerte von zwei konjugierten Variablen". Ich hab das zwar nirgendwo behandelt gesehen, finde es aber so einleuchtend, dass es eigentlich mal gesagt werden müsste - wenn es denn stimmt. (Ein Theoretiker bei uns konnte auch keinen Beweis finden, sah das aber auch als sehr plausibel an. Andererseits würde es mich dann aber auch sehr wundern, wenn den Gründervätern der QM dies Schmankerl entgangen sein sollte.) - Ich, um hier weiter mitreden zu können, muss mir dann jetzt den Thirring mal besorgen - übermorgen in der UB. Inzwischen hab ich bei Dichteoperator das mir nötig erscheinende eingefügt, ich hoffe, Du liest da mit. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:17, 22. Apr. 2019 (CEST)

zur Hierarchie: meist wird der Zustand als das Primäre eingeführt, aber der operatoralgebraische (und eigentlich auch schon der Heisenberg'sche) stellen die Observablen voran. Ich finde das den physikalisch besser motivierten Zugang: was sind die "Fragen", die man dem System stellen kann? (-> die Observablen; Heisenbergs Unschärferelation impliziert die nicht-Kommutativität ->Matritzen/Operatoren) Welche Antworten gibt das System, ggf mit welcher Wahrscheinlichkeit? (-> Zustand; Gleasons Theorem "erzwingt" dann mehr oder weniger die Dichtematrix zur Beschreibung des Zustands). Aber da kann man verschiedener Meinung sein.

Zu Deiner Frage: da muss man vorsichtig sein, denn Wahrscheinlichkeitsverteilungen für x und p allein bestimmen im Quantenfall den Zustand nicht eindeutig.

Im klassischen Fall kann man sagen: "Ein reiner Zustand eines klassischen Punktteilchens (in einer Dimension) ist durch die Angabe der beiden Phasenraumkoordinaten x und p vollständig beschrieben. Jedes Paar $(x,p)$ von Phasenkoordinaten entspricht einem physikalisch möglichen Zustand." Für die Gegenüberstellung mit der Quantenversion ist aber vllt besser, gleich auch gemischte Zustände einzubeziehen: "Der Zustand eines klassischen Punktteilchens (in einer Dimension) ist durch die Angabe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung im zweidimensionalen Phasenraum vollständig beschrieben. Jede Wahrscheinlichkeitsdichte auf $\mathbf {R} ^{2}$ (d.h. $\rho (x,p)\geq 0$ und $\int \rho (x,p)dxdp=1$) auf dem Phasenraum entspricht einem physikalisch möglichen Zustand."

Im Quantenfall kann man entweder eine Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung $W(q,p)$, die Wignerfunktion, angeben, muss aber aufpassen, dass W einerseits nicht positiv ist und andererseits nicht alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen zulässige Wignerfunktionen sind (z.B. die Punktverteilungen $W(x,p)=\delta (x)\delta (p)$ nicht...). Oder, wenn man sich auf reine Zustände beschränkt, genügt es eine Wellenfunktion (=jede normierte Funktion in $L^{2}(R)$="Wahrscheinlichkeitsamplitudendichte") auf dem Konfigurationsraum anzugeben angeben.

Die W-verteilungen für x und p sind bloss zwei Marginalverteilungen der Wignerfunktion $\rho (x)=\int W(x,p)dp$ und $\rho (p)=\int W(x,p)dx$. Aber diese zwei Randverteilungen fixieren W im allgemeinen nicht; sin tun es, wenn man zusätzlich weiss, dass der Zustand rein ist; vgl. z.B. den hier verlinkten Review-Artikel (gleich nach eq.(1)).--Qcomp (Diskussion) 22:21, 22. Apr. 2019 (CEST)

Welcher mathematische Tiefgang ist hier angemessen?

Neuer Abschnitt: Das zitierte Lehrbuch von Thirring hab ich mir angesehen und bin von dem mathematischen Tiefgang, ja: zurückgeschaudert. Wenn das für die überwältigende Mehrheit der Wikipedia-Leserschaft nicht genauso vollkommen außerhalb der Reichweite eines nachholenden Verständnisses liegt wie für mich, dann kann ich meine Mitarbeit hier getrost einstellen, denn damit kann ich, knallhart gesagt, überhaupt nichts anfangen. Ich gehe aber stark davon aus, dass ich damit bei weitem nicht allein bin, denn die gefühlt 10^2 Lehrbücher der Quantenmechanik, aus denen ich bisher was gelernt habe, kommen auch völlig ohne diese Stufe anspruchsvollster Mathematik aus. Ich glaube, noch nicht einmal Günther Ludwig (dessen Lehrbuch es in unserer UB nicht mehr gibt) geht so weit bzw. so tief. Ich plädiere daher dafür, den Hauptteil des Artikels auf dem Niveau eines eher typischen Lehrbuchs zu halten, und das tiefschürfende, wenn es denn sein muss, in eigenen Abschnitten anzufügen. - Ich bitte auch weitere Autoren sich dazu zu äußern. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:49, 24. Apr. 2019 (CEST)

ich stimme zu, dass einiges dafür spricht, den Abschnitt "Mathematische Darstellung" mit einer spezielleren/gebräuchlicheren Formulierung der QM zu beginnen zu lassen. Eine Möglichkeit wäre, erstmal den endl-dim Hilbertraum-Formalismus darzustellen (vllt sogar parallel zu/immer im Bezug auf die (formellosen) Abschnitte unter "Grundbegriffe") und dann die Verallgemeinerungen auf unendlich-dimensionale Hilberträume (wo ""Wellenfunktionen" und "uneigentliche Eigenzustände" dazukommen und Dichtematritzen zu Spurklasseoperatoren veralgemeinert werden). Und dann mit einem kurzen Abschnitt zum C*-alg-Formalismus abzuschliessen. --Qcomp (Diskussion) 00:46, 25. Apr. 2019 (CEST)

Da können wir gut zusammentreffen. Ich hab inzwischen weitergelesen und mich graduell von den Vorzügen der C*-Darstellung überzeugen lassen. Als erstes fiel mir auf, dass meine allgemeine Lieblingsdefinition von "Zustand" ja genau diesen Weg weist: "Zustand beinhaltet die Information, die mindestens gebraucht wird, um alle für ein System zu erwartenden Messergebnisse vorherzusagen." Die aktuelle Dartsekllung ist allerdings mehr als lückenhaft und erfüllt daher nicht die Anforderungen an eine Definition, wie sie zu Beginn des Artikels erwartet werden darf. Imho fehlt zB mindestens der Hinweis auf nicht-abelsche Algebra, um das von der klassischen Mechanik abzugrenzen. Un ganz formal: das x in ψ ( A A* ) ≥ 0 ∀ x ∈ A sollte wohl ein A sein? --Bleckneuhaus (Diskussion) 14:53, 25. Apr. 2019 (CEST)