Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die natürlichen Zahlen N=0,1,2,... die Wahrscheinlichkeiten

$P_{\lambda }(N)={\frac {\lambda ^{N}}{N!}}{\rm {e}}^{-\lambda }$

zuordnet.

(e ist die Eulersche Zahl; e^x steht somit für die Exponentialfunktion; N! bezeichnet die Fakultät von N.)

Anwendung

Die Poisson-Verteilung wird häufig dazu benutzt, zeitliche Ereignisse zu beschreiben. Gegeben sind ein zufälliges Ereignis, das durchschnittlich einmal in einem zeitlichen Abstand t₁ stattfindet und ein Zeitraum t₂.
Die Poissonverteilung P _λ( x ) mit λ = t₂/t₁ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass im Zeitraum t₂ genau 0, 1, 2, 3, ..., 1000, ... Ereignisse stattfinden.

Beispiel: Eine Kaufhaus wird an einem Samstag durchschnittlich alle 10 Sekunden von einem Kunden betreten.
P ₆ ( 9 ) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in der nächsten Minute genau 9 Kunden das Kaufhaus betreten.

In der Natur verhält sich zum Beispiel der radioaktive Zerfall nach der Poisson-Statistik.

Ein Anwendungsbeispiel für die Simulation poissonverteilter Zufallszahlen findet sich unter Verteilung von Zufallszahlen.

Eigenschaften

Die Verteilung P _λ besitzt den Erwartungswert λ und die Varianz λ.

Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv: Sind X₁ und X₂ stochastisch unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariable mit den Parametern λ₁ und λ₂, dann ist X₁+X₂ Poisson-verteilt mit dem Parameter λ₁+λ₂.

Zahlenwerte zum "Kaufhaus"- Beispiel:

P 6
n	Wahrscheinlichkeit (n) in %	Summe in %
0	0.25	0.25
1	1.49	1.74
2	4.46	6.20
3	8.92	15.12
4	13.39	28.51
5	16.06	44.57
6	16.06	60.63
7	13.77	74.40
8	10.33	84.72
9	6.88	91.61
10	4.13	95.74
11	2.25	97.99
12	1.13	99.12
13	0.52	99.64
14	0.22	99.86
15	0.09	99.95