Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes bzw. freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor verändert. Der Wert der Bestandsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen (exponentielle Zunahme) oder abnehmen (exponentieller Zerfall oder exponentielle Abnahme).

Eigenschaften

Modellbeschreibung

Verschiedene Arten von Wachstum

exponentielles Wachstum

lineares Wachstum

kubisches Wachstum

Beim Modell des exponentiellen Wachstums ist die Änderung $B_{n+1}-B_{n}$ (diskreter Fall) bzw. $B'(t)$ (kontinuierlicher Fall) der Bestandsgröße proportional zum Bestand. Im diskreten Fall ergibt sich der neue Bestandswert bei positivem Wachstum, indem der alte Wert mit einer Konstanten größer als 1 multipliziert wird, und bei negativem Wachstum mit einer positiven Konstanten kleiner als 1 multipliziert wird.

Nebenstehendes Bild zeigt, dass auf lange Sicht die Wachstumsgeschwindigkeit des positiven exponentiellen Prozesses größer ist als beispielsweise beim linearen und beim kubischen Wachstum, also Wachstumsprozessen, die sich durch ganzrationale Funktionen beschreiben lassen.

Bei der exponentiellen Abnahme bildet die x-Achse die Asymptote des Graphen der Wachstumsfunktion. Die Bestandsgröße nähert sich der Null an, verschwindet aber nicht. In Anwendungsbezügen wie z. B. der Biologie sind die Bestandsgrößen häufig ganzzahlig, sodass sehr kleine Werte schließlich keine Bedeutung mehr haben und der Bestand praktisch gesehen ausstirbt.

Wesentliche Begriffe und Notation

• $t$: Zeit, physikalische Größe, Produkt aus Zahlenwert und Einheit
• $B(t)$: exponentiell zeitveränderliche Bestandsgröße
• $B(0)=B_{0}$: Anfangsbestand, (Anfangsbedingung), Bestandsgröße zum Zeitpunkt $t=0$
• $B'(t)={\frac {{\text{d}}B(t)}{{\text{d}}t}}$: Wachstumsgeschwindigkeit, Wachstumsrate bei $t$
• $b={\frac {B(t+T_{b})}{B(t)}}>0$: bestandspezifischer Wachstumsfaktor, Vervielfältigungsfaktor in der Zeitspanne $T_{b}$
• $T_{b}$: Vervielfältigungszeit. Während der Zeitspanne $T_{b}\neq 0$ ändert sich die Bestandsgröße um den Faktor $b$.
  • $T_{0,5}$: Vervielfältigungszeit für $b={\frac {1}{2}}$, Halbwertszeit
  • $T_{2}$: Vervielfältigungszeit für $b=2$, Verdopplungszeit (auch Doppelwertszeit und in der Biologie Generationszeit genannt)
  • $T_{\text{e}}$: positive oder negative Vervielfältigungszeit für $b={\text{e}}\approx 2.718$ (Eulersche Zahl)
• $\lambda ={\frac {1}{T_{e}}}$: positive oder negative Wachstumskonstante mit der Dimension 1:Zeit
• $p=b-1$: Wachstumsrate, wird auch in Prozent angegeben.
• $\ln$: natürlicher Logarithmus.

Der hier verwendete Wachstumsbegriff schließt auch Zeitverläufe mit abnehmenden Werten ein. Dadurch werden Fallunterscheidungen in den Formeln vermieden. Positives (tatsächliches) Wachstum ($b>1$) und negatives Wachstum ($0<b<1$) spiegelt sich lediglich in Parametervorzeichen wider.

Differentialgleichung

Differentialgleichungen (DGL) dienen der Beschreibung kontinuierlicher (stetiger) Wachstumsmodelle.

Die DGL für den exponentiellen Prozess lautet:

${B}'(t)={\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}}=\lambda \cdot B(t)$

Dies ist eine lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann zum Beispiel mittels der Methode „Variablentrennung“ gelöst werden.

Explizite Darstellung (Wachstumsfunktion)

Die spezielle Lösung der DGL beschreibt die explizite Darstellung des Wachstumsprozesses und bildet zugleich die Wachstumsfunktion. Diese stellt eine Exponentialfunktion dar.

Sie lautet für die exponentielle Zu- und Abnahme:

$B(t)=B(0)\cdot b^{t/T_{b}}=B(0)\cdot e^{\lambda t}$

mit $\lambda ={\frac {\ln b}{T_{b}}}$.

Für $\lambda >0$ bzw. $b>1$ und $T_{b}>0$ wird positives Wachstum beschrieben. Hier wächst die Bestandsgröße – mathematisch gesehen – ins Unendliche. Der Graph der Funktion steigt streng monoton und beschreibt eine Linkskurve. Das Wachstum ist progressiv. Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit zu.

Beim exponentiellen Zerfall gelten dieselben Formeln, aber mit $\lambda <0$ bzw. $0<b<1$ und $T_{b}>0$. Der Graph der Funktion fällt streng monoton und beschreibt eine Linkskurve. Das Wachstum ist degressiv. Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab. Die $x$-Achse (Abszisse) bildet die Asymptote der Funktion.

Wachstumsgeschwindigkeit

Diese lässt sich leicht aus der DGL herleiten: $B'(t)=\lambda \cdot B(t)=\lambda \cdot B(0)\cdot e^{\lambda t}$.

Diskretes Wachstumsmodell

Zur Darstellung des diskreten Wachstumsmodells in rekursiver Form dienen aus Differenzen abgeleitete Folgen. Dabei bezeichnet $\Delta t$ die Zeitdifferenz in einer äquidistanten Folge von Zeitpunkten $t_{n}=n\Delta t$ für $n=0,1,2,\dotsc$; und $B_{n}$ meint die entsprechenden Bestandsgrößen.

In rekursiver Form wird zeitdiskretes exponentielles Wachtum (Zu- und Abnahme) durch

$B_{n+1}=B_{n}\cdot b$

beschrieben. Dabei ist der Wachstumsfaktor $b=1+p$ mit jenem im zeitkontinuierlichen Fall identisch.

Die Bestandsgröße $B_{n}$ folgt aus den Formeln für kontinuierliches Wachstum mit den Substitutionen $t=n\Delta t$, $T_{b}=\Delta t$ und $\lambda ={\frac {\ln b}{\Delta t}}$ zu

$B_{n}=B_{0}b^{n}=B_{0}{\text{e}}^{n\ln b}$.

Übliche Vervielfältigungsfaktoren

Bei der Formulierung eines exponentiellen Verlaufs kann als Basis $b$, d. h. als Vervielfältigungsfaktor, prinzipiell jede positive reelle Zahl verwendet werden. Erst mit der Wahl von $b$ ist die zugehörige Vervielfältigungszeit $T_{b}$ festgelegt. In der Praxis beschränkt man sich, wo möglich und abhängig vom Anwendungsfall, auf drei Werte für $b$, nämlich ${\frac {1}{2}}$, 2 und die Eulersche Zahl e (s. o.). Die zugehörigen Zeitspannen sind die Halbwertszeit $T_{0,5}$, die Verdoppelungsungszeit $T_{2}$ bzw. $T_{\text{e}}={\frac {1}{\lambda }}$ (vgl. Abschnitt Wesentliche Begriffe und Notation).

Die Umrechnung einer Vervielfältigungszeit $T_{b}$ in den entsprechenden Wachstumsfaktor $\lambda$ gelingt mit $b^{t/T_{b}}=e^{\lambda t}$. Man erhält

$\lambda ={\frac {\ln b}{T_{b}}}$.

Bei negativem Wachstum ist $\ln b$ wegen $0<b<1$ negativ, so dass auch $\lambda$ negativ wird.

Auflösung nach der Zeit

Bestimmt werden soll die Zeitspanne $t_{f}$, in der sich ein exponentiell entwickelnder Bestand um den Faktor $f=B(t_{f})/B(0)$ ändert. Die Wachstumsgleichung ist mit dem Vervielfältigungsfaktor $b$ und der Vervielfältigungszeit $T_{b}$ gegeben. Aus $b^{\frac {t_{f}}{T_{b}}}=f$ folgt

${\frac {t_{f}}{T_{b}}}=\log _{\,b}f={\frac {\ln f}{\ln b}}$.

Beispiel: Für $b=1+p$ nahe eins gilt näherungsweise $\ln b=p$. Eine Verdoppelung ($f=2$) benötigt demnach die Zeit $t_{f}\approx T_{b}{\frac {0,7}{p}}$.

Beispiele

Naturwissenschaften

Bakterielles Wachstum bei E. coli. Die Generationszeit liegt bei ca. 20 Minuten.

Wachstum von Populationen

Das Wachstum von Mikroorganismen wie beispielsweise Bakterien und Viren, Krebszellen und auch der Weltbevölkerung kann ohne begrenzende Faktoren (z. B. Konkurrenten, (Fress-)Feinde oder Krankheitserreger) theoretisch exponentiell steigen. Im Normalfall geht ein anfangs exponentielles Wachstum in ein logistisches Wachstum über.

Radioaktiver Zerfall

Die Anzahl der Kernzerfälle in einer radioaktiven Materialmenge nimmt zeitlich annähernd exponentiell ab (siehe auch Zerfallsgesetz). In gleich langen Zeitintervallen zerfällt stets derselbe Bruchteil der zu Beginn des Intervalls noch vorhandenen Menge.

Lambert-Beersches Gesetz

Legt ein monochromatischer (einfarbiger) Lichtstrahl mit einer bestimmten einfallenden Intensität durch ein absorbierendes, homogenes Medium (z. B. Farbstoff) einer bestimmten Schichtdicke darin einen Weg zurück, so lässt sich die Intensität des austretenden Strahls durch einen exponentiellen Zerfallsprozess darstellen. Die Intensität des austretenden Strahls ist proportional zur Intensität des einfallenden Strahls. Dies steht in engem Zusammenhang mit dem sogenannten Absorptionsgesetz für beispielsweise Röntgenstrahlung.

Exponentielles Anwachsen der Amplitude nach dem Einschalten eines Oszillators, bis die Begrenzung einsetzt.

Anfachen eines Oszillators

Die zeitlich lineare Amplitudenänderung beim Anschwingen eines Oszillators entspricht einem zeitlich exponentiellen Amplitudenzuwachs eines realen Schwingers bei Parameterresonanz.

Wirtschaft und Finanzen

Zinseszins

Die Zinsen werden hier einem Kapital $K$ über einen gewissen Zeitraum zugeschlagen und mit verzinst. Dies führt zu einem exponentiellen Wachstum des Kapitals. Die Zinseszinsformel lautet $K(t)=K(0)\cdot (1+i)^{t}$, wobei $i$ der Zinssatz und $K(0)$ das Anfangskapital darstellt (siehe auch Zinsrechnung, Josephspfennig – hier wird ein Penny im Jahre Null angelegt).

Bei einem Sparbuch mit 5 % Zinsen pro Jahr liegt die Verdoppelungszeit nach obenstehender Faustformel bei ${\tfrac {70}{5}}\approx {\text{14 Jahren}}$.

Schneeballsystem

Dies sind Geschäftsmodelle, bei denen die Anzahl der Teilnehmer exponentiell wächst. Jeder Mitarbeiter hat hier eine bestimmte Anzahl weiterer Mitarbeiter zu rekrutieren, die dann wiederum diese Anzahl anwerben sollen, und so weiter. Nach dem gleichen Prinzip funktionieren auch Schenkkreise und Kettenbriefe.

Technik

5-fach gefaltete Mylarfolie

Falten

Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke von Papier oder Folie. Auf diese Weise lassen sich dünne Folien mit einem einfachen Messschieber ausmessen. Die Mylarfolie auf dem Bild besteht nach 5-fachem Falten aus 2⁵ = 32 Lagen Folie, die gemeinsam eine Dicke von 480 µm haben. Eine Folie ist also ca. 15 µm stark. Nach 10-fachem Falten wäre die Lage bereits 15 mm dick, nach weiteren 10 Faltungen mehr als 15,7 m. Da sich auch die Stapelfläche exponentiell verringert, lässt sich Papier in einem handelsüblichen Papierformat kaum mehr als sieben Mal zusammenschlagen.

Mathematik

Schachbrett mit einem Weizenkorn

Der Anekdote zufolge soll der Brahmane Sissa ibn Dahir ein Spiel, das heute unter dem Namen Schach bekannt ist, für den indischen Herrscher Shihram erfunden haben, um ihm seine tyrannische Herrschaft, die das Volk in Elend und Not stürzte, zu verdeutlichen und ihn zu unterhalten. Ihm wurde dafür ein freier Wunsch gewährt. Sissa wünschte sich Folgendes: Auf das erste Feld eines Schachbretts wollte er ein Weizenkorn (je nach Literatur auch ein Reiskorn), auf das zweite Feld das Doppelte, also zwei Körner, auf das dritte wiederum die doppelte Menge, also vier und so weiter. Der König lachte und gewährte ihm den Wunsch. Auf dem letzten (64.) Feld würden so am Ende 9,22 · 10¹⁸ Körner, also mehr als 9 Trillionen Körner liegen. Das Anwachsen der Körnerzahl lässt sich als exponentielles Wachstum unter Nutzung einer Exponentialfunktion der Basis 2 auffassen.

Grenzen des Modells

Der Modellansatz zu exponentiellem Wachstum stößt in der Realität auf seine Grenzen – insbesondere im wirtschaftlichen Bereich.

„Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch“ als langfristiger Trend, so der Wirtschaftswissenschaftler Norbert Reuter. Er führt an, dass die Wachstumsraten in höher entwickelten Gesellschaften aufgrund von konjunkturellen Einflüssen zurückgehen. Indikator dafür ist das Bruttoinlandsprodukt (BIP). Mit Blick auf statistische Daten lässt sich ableiten, dass ein exponentielles Wirtschaftswachstum eher typisch für Anfangsjahre einer industriellen Volkswirtschaft ist, aber ab einem bestimmten Niveau, wenn wesentliche Entwicklungsprozesse abgeschlossen sind, in ein lineares Wachstum übergeht. Wird also ein weiteres exponentielles Wachstum extrapoliert, tritt eine Diskrepanz zwischen der Wachstumserwartung und dem tatsächlichen Verlauf auf. Dies betrifft unter anderem die Staatsverschuldung. Durch die rechentechnisch falsche Erwartung, dass die Staatsverschuldung durch ein Wirtschaftswachstum begrenzt werden könnte, sinkt jedoch nur die Schwelle für neue Schulden. Bleibt jedoch das erwartete Wachstum aus, entsteht ein Defizit, das die künftige Handlungsfähigkeit eines Staates einschränkt. Aufgrund der Zinsen und Zinseszinsen besteht die Gefahr, dass die Staatsverschuldung exponentiell wächst.

Ein weiterer Aspekt ist, dass der Bedarf nicht ins Unermessliche steigt, sondern einen Sättigungseffekt erfährt, der auch nicht durch entsprechende Wirtschaftspolitik kompensiert werden kann. In die gleiche Richtung gehen Überlegungen in Bezug auf biologische Zusammenhänge beispielsweise durch Konkurrenz um Nahrung oder Platz. Bezogen auf die Weltbevölkerung thematisiert dies die Debatte um den ökologischen Fußabdruck – sprich um die Tragfähigkeit der Erde mit dem relativ kleinen Verbrauch an regenerativen Ressourcen bezogen auf den Gesamtverbrauch an Ressourcen. Diesbezüglich vernachlässigt das exponentielle Wachstumsmodell auch demographische Entwicklungen wie das Verhältnis zwischen Geburten- und Sterberate sowie das Verhältnis zwischen weiblicher und männlicher Bevölkerung.

Wachstumsmodelle, die den Sättigungseffekt berücksichtigen, sind das beschränkte Wachstum und das logistische Wachstum, während das Modell des vergifteten Wachstums auch wachstumshemmende Faktoren in den Prozess mit einberechnet.

Literatur

• Joachim Engel: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion. Eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende. Springer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-540-89086-7, S. 150–153. 
• Hermann Haarmann, Hans Wolpers: Mathematik zur Erlangung der allgemeinen Hochschulreife. Nichttechnische Fachrichtungen. 2. Auflage. Merkur Verlag, Rinteln 2012, ISBN 978-3-8120-0062-8, S. 272–274. 
• Klaus Schilling: Analysis: Qualifikationsphase: Kerncurriculum Berufliches Gymnasium. Eins Verlag, Köln 2012, ISBN 978-3-427-07770-1, S. 249–257. 
• Walter Seifritz: Wachstum, Rückkopplung und Chaos: Eine Einführung in die Welt der Nichtlinearität und des Chaos. Hansen Verlag, München 1987, ISBN 3-446-15105-2, S. 9–18.