Benutzer:Ag2gaeh/Sandkasten

Eigenschaft einer Steiner-Ellipse

Steiner-Ellipse eines gleichseitigen (links) und gleichschenkligen Dreiecks

Eine Steiner-Ellipse ist die einzige Ellipse, die den Schwerpunkt $S$ eines Dreiecks $ABC$ als Mittelpunkt besitzt und durch die Ecken des Dreiecks verläuft. Der Flächeninhalt der Steiner-Ellipse ist gleich dem ${\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ -fachen Flächeninhalt des Dreiecks

Beweis

A) Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Ellipse offensichtlich der Umkreis. Er ist die einzige Ellipse, die die Forderungen erfüllt. Denn da $S$ der Mittelpunkt der Ellipse ist, müssen auch die drei an $S$ gespiegelten Ecken auf der Ellipse liegen. Dies ist für den Umkreis der Fall. Da ein Kegelschnitt durch 5 Punkte eindeutig bestimmt ist, ist der Kreis die einzige Ellipse mit der geforderten Eigenschaft.

B) Da ein beliebiges Dreieck als affines Bild eines gleichseitigen Dreiecks angesehen werden kann, ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse und der Schwerpunkt eines Dreiecks in den Schwerpunkt des Bilddreiecks übergeht, gilt die Eigenschaft (genau eine Umellipse mit Mittelpunkt im Schwerpunkt) für alle Dreiecke.

Die Fläche des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich dem ${\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ -fachen Flächeninhalt des Dreiecks. Bei einer affinen Abbildung bleiben Flächenverhältnisse unverändert. Also gilt diese Aussage über das Flächenverhältnis auch bei einem beliebigen Dreieck und seiner Steiner-Ellipse.

Konstruktion einer Steiner-Ellipse

Um eine Ellipse zeichnen zu können, benötigt man wenigsten zwei konjugierte Halbmesser. Dann lassen sich
entweder mit Hilfe einer Rytz-Konstruktion die Scheitel bestimmen und mit einem Ellipsenzirkel die Ellipse zeichnen
oder mit einem Computerprogramm die Ellipse als parametrisierte Kurve zeichnen. Die Scheitel und Halbachsen lassen sich auch rechnerisch bestimmen.

Konstruktionsschritte einer Steiner-Ellipse

Es sei $ABC$ ein Dreieck und $S$ dessen Schwerpunkt. Legt man durch $S$ eine Parallele $d$ zur Seite $AC$ und fürt man das Dreieck durch eine Scherung an $d$ in ein gleichschenkliges Dreieck $A'B'C'$ über (s. Bild), so ist $C'$ ein Scheitel der Steiner-Ellipse des Dreiecks $A'B'C'$ . Ein weitererScheitel $D$ dieser Ellipse liegt auf $d$ , da $d$ zu $SC'$ (aus Symmetriegründen) senkrecht ist. Dieser Scheitel lässt sich aus den Daten (Ellipse mit Mittelpunkt $S$ durch $C'$ und $B'$ , $|A'B'|=c$ ) berechnen. Es ergibt sich

$|SD|={\frac {c}{\sqrt {3}}}\;$ .

Oder: Man bestimmt zeichnerisch mit Hilfe der Ellipsen-Konstruktion von de la Hire (s. mittleres Bild) den Scheitel $D$ der Umellipse des gleichschenligen Dreiecks $A'B'C'$ .
Macht man die Scherung Rückgängig geht $C'$ wieder in $C$ über und $D$ bleibt als Punkt der Scherachse fest. Damit ist $SD$ ein zu $SC$ konjugierter Halbmesser. I.a. stehen beide nicht senkrecht aufeinander.
Mit Hilfe dieser konjugierten Halbmesser lässt sich, wie oben beschrieben, die gesuchte Steiner-Ellipse zeichnen.