Dispersionsrelation

Als Dispersionsrelation wird die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz $\omega$ und der Wellenzahl $k$ bezeichnet. Allgemein hat sie die Form $f(\omega ,k)=0$. Sie wird aus der Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen. Im einfachsten Fall hat die Dispersionsrelation die Form

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mit der Phasengeschwindigkeit $v_{\rm {phase}}$.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit $v_{\rm {gruppe}}=d\omega /dk$. Ein Wellenpakt besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket i.A. auseinander, siehe Dispersion. Wellenpakete, die trotz Dispersion nicht auseinander laufen, werden als Solitonen bezeichnet.

Optik

Da man es in der Optik mit Brechzahlen zu tun hat, die mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in dem Medium zusammenhängen, ist die Dispersionsrelation in der Optik die (komplexe) Brechzahl als Funktion der Kreisfrequenz.

$k={\frac {\omega }{v_{\rm {phase}}}}=n(\omega ){\frac {\omega }{c_{0}}}$

Teilchenphysik

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) stets mit dem Impuls in Verbindung steht, bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation oder (Dispersionsbeziehung), z.B. bei Elektronen

$\hbar \omega =E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$.

Unter einer Dispersionsrelation versteht man also allgemein einen Ausdruck, der einen Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Wellenzahl, Impuls, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Brechzahl, Gruppengeschwindigkeit) wiedergibt.