Benutzer:LoRo/Misiurewicz-Punkt

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Satz von Sturm-Picone

Eine Erweiterung des Vergleichssatzes von Sturm liefert der Satz von Sturm-Picone, benannt nach dem italienischen Mathematiker Mauro Picone (1885−1977). (siehe englische wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm–Picone_comparison_theorem)

Lagrange

Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.

Definition

Die Lagrange-Identität für die Funktionen $\phi$, $\psi$ aus der Differentiationsklasse $\phi ,\psi \in C^{2}((a,b),\mathbb {R} )$ und den Koeffizientenfunktionen $w,q\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )$, $p\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} ),w\neq 0$ und $p,q>0$ ist gegeben durch den Sturm-Liuoville-Operator ${\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)$ für den gilt:

${\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p(\phi \psi '-\psi \phi '){\bigg )}\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}\end{aligned}}$

wobei $W(\phi ,\psi )$ die Wronski-Determinante der Funktionen $\phi ,\psi$ bedeutet.

Beweis

Sei ${\mathcal {L}}$ ein Sturm-Liuoville-Operator, dann ist:

$\phi {\mathcal {L}}\psi =\phi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)+q\psi {\bigg )},$

und

$\psi {\mathcal {L}}\phi =\psi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)+q\phi {\bigg )}.$

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:

$\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi =\phi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\psi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right).$

Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term ${\tfrac {-1}{w}}$ bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen $\textstyle \phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}$ und $\textstyle \psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}$. Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Gleichungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

${\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-{\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p\left(\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}-\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}.\\\end{aligned}}$

$\Box$

;Beispiel:

An Hand der Airy-Funktionen wird die Bedeutung der Lagrange-Identität veranschaulicht.

Siehe auch

• Sturm-Liouville-Problem

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion). 

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2

Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen

Kategorie:Differentialoperator

SL-Problem

Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville und Charles-François Sturm) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung:

$-\left(p\cdot \psi '\right)'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi$

wobei $p,q,w$ Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen $\lambda$, für die die Differentialgleichung auf dem Intervall $(a,b)$ eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen

${\begin{aligned}\cos(\alpha )\psi (a)&+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0\\\cos(\beta )\psi (b)&+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0\end{aligned}}$

genügt ($\alpha ,\beta \in [0,\pi )$).

Führt man den linearen Operator der Form

$L={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)$

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung $L\psi =\lambda \psi$ mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion $w$ quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizienten $w,p^{-1},q$ integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizienten nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Die Eigenwertgleichung

$-(p\cdot \psi ')'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi$

mit integrierbaren reellen Funktionen $w(x)>0,p(x)^{-1}>0,q(x)$, zusammen mit Randbedingungen der Form

$\cos(\alpha )\psi (a)+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0,\quad \cos(\beta )\psi (b)+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0,\qquad \alpha ,\beta \in [0,\pi ),$

nennt man ein reguläres Sturm-Liouville-Problem über dem Intervall $[a,b]$, wenn dieses Intervall endlich ist.

Im Fall $\psi (a)=\psi (b)=0$ spricht man von Dirichlet-Randbedingungen und im Fall $\psi '(a)=\psi '(b)=0$ von Neumann-Randbedingungen, wobei die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung mit den Randbedingungen sichergestellt wird.

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt, die gegen $+\infty$ divergiert:

$\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty .$

Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch (Weyl Asymptotik) wie

$\lambda _{n}=\pi ^{2}\left(\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {w(x)}{p(x)}}}\mathrm {d} x\right)^{-2}n^{2}+O(n).$

Die zugehörigen Eigenfunktionen $\psi _{n}$ bilden eine Orthonormalbasis im Hilbertraum $L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)$ der bezüglich der Gewichtsfunktion $w$ quadratintegrierbaren Funktionen.

Beispiel

Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung

$-\psi ''=\lambda \psi$

auf dem Intervall $[0,\pi ]$, zusammen mit den Dirichlet-Randbedingungen

$\psi (0)=\psi (\pi )=0.$

Aufgrund der Randbedingungen wird der periodische Ansatz $\psi (x)=a\sin({\sqrt {\lambda }}x)$ für $\lambda >0$ und beliebige $a\in \mathbb {R}$ gewählt. Wegen $\psi (0)=\psi (\pi )=0$ ist $a\neq 0$ und $\sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0,$ also ${\sqrt {\lambda }}\pi =n\pi$ und somit $\lambda =n^{2}$ für $n\in \mathbb {N}$. Die Folge der Eigenwerte lautet demnach

$\lambda _{n}=n^{2}$

und genügt der Weyl-Asymptotik. Die Folge der Eigenfunktionen lautet bis auf die zu bestimmenden Koeffizienten $a_{n}$

$\psi _{n}(x)=a_{n}\sin(n\,x).$

Die Orthonormalbasis der Eigenfunktionen im Hilbertraum $L^{2}([0,\pi ],\mathrm {d} x)$ mit $w(x)=1$ ergibt sich unter Verwendung der trigonometrischen Formel $\textstyle \sin(nx)\;\sin(mx)={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos {\big (}(n-m)x{\big )}-\cos {\big (}(n+m)x{\big )}{\Big )}$:

${\begin{aligned}\langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle &=\int {\overline {\psi _{n}(x)}}\psi _{m}(x)\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi }{\overline {a_{n}\sin(nx)}}\;a_{m}\sin(mx)\,\mathrm {d} x=a_{n}a_{m}\int _{0}^{\pi }\sin(nx)\sin(mx)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {a_{n}a_{m}}{2}}\int _{0}^{\pi }{\bigg (}\cos {\big (}(n-m)x{\big )}-\cos {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg )}\,\mathrm {d} x\\\\&={\begin{cases}{\frac {a_{n}a_{m}}{2}}{\bigg [}{\frac {1}{n-m}}\sin {\big (}(n-m)x{\big )}-{\frac {1}{n+m}}\sin {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg ]}_{0}^{\pi }=0&&{\text{wenn}}\;n\neq m\\\\{\frac {a_{n}^{2}}{2}}{\Bigg [}x-{\frac {1}{2n}}\sin(2nx){\bigg ]}_{0}^{\pi }={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}&&{\text{wenn}}\;n=m\end{cases}}\\\\&={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}\delta _{nm}.\end{aligned}}$

Hierbei bedeutet $\delta _{nm}$ das Kronecker-Delta und die Normierung $\langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle =\delta _{nm}$ bedingt $a_{n}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$, so dass die normierten Eigenfunktionen die Darstellung

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(n\,x)$

annehmen.

Die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist die Fourierreihe mit

$\Psi =\sum _{n=1}^{\infty }\psi _{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(nx).$

Eigenschaften

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem ist man daran interessiert, das Verhalten der Eigenfunktionen zu beschreiben, ohne deren genaue Kenntnis zu haben. Insofern geben die nachfolgenden Sätze, die teilweise auf Charles-François Sturm zurückgehen, einen Überblick an die Eigenschaften der Lösungen des Sturm-Liouville-Problems.

Dazu wird die homogene Differentialgleichung $\textstyle {\mathcal {L}}\psi ={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi =0$ für $w=1$ betrachtet und nachfolgende Anforderungen an die Koeffizientenfunktionen $p,q$ gestellt:

• $p\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )$ und $p>0$,
• $q\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )$ und $q>0$.

Darüberhinausgehende Anforderungen sind in den entsprechenden Sätzen formuliert.

Amplitudensatz

Da die Amplituden den Absolutbetrag der lokalen Extremwerte angeben, wird mit dem nachfolgenden Satz das Verhalten der Amplituden aufeinanderfolgender Nullstellen beschrieben.

Abweichend von den eingangs genannten Voraussetzungen sei $p,q\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )$, $p,q$ monoton wachsend oder monoton fallend, sowie auf einem beliebigen Intervall $(c,d)\subseteq (a,b)$ sei $\phi$ eine nicht triviale Lösung von ${\mathcal {L}}\phi =0$. Für die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Extremstellen $x_{k}<x_{k+1}$ von $\phi$ gilt dann:

$|\phi (x_{k+1})|\geq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'<0$ und

$|\phi (x_{k+1})|\leq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'>0$.

Beweis

Es sei $\phi$ eine nicht-triviale Lösung und

$\psi =\phi ^{2}+{\frac {1}{pq}}\left(p\phi '\right)^{2}$.

Dabei ist $\psi$ keine Lösung der Sturm-Liouville-Differentialgleichung, jedoch eine Funktion die mit denselben Extremstellen und Nullstellen ausgestattet ist wie $\phi$. Mit Hilfe dieser Konstruktion folgt durch Differentiation mit $(p\phi ')'=-q\phi$

${\begin{aligned}\psi '&=2\phi \phi '+{\frac {1}{pq}}2p\phi '\left(p\phi '\right)'-{\frac {(pq)'}{(pq)^{2}}}\left(p\phi '\right)^{2}\\&=2\phi \phi '-2\phi \phi '-{\frac {(pq)'}{(pq)^{2}}}\left(p\phi '\right)^{2}\\&=-(pq)'\left({\frac {\phi '}{q}}\right)^{2}.\end{aligned}}$

Wird zudem berücksichtigt, dass an jedem Extrempunkt $\phi '(x_{k+1})=\phi '(x_{k})=0$ ist, so gilt für ein $\xi$ mit $c<x_{k}\leq \xi \leq x_{k+1}<d$

${\begin{aligned}\psi '(\xi )\geq 0&{\text{ wenn }}(p(\xi )q(\xi ))'<0\\\psi '(\xi )\leq 0&{\text{ wenn }}(p(\xi )q(\xi ))'>0.\end{aligned}}$

Demzufolge wird die Steigung von $\psi$ beeinflusst durch den Wert der Ableitung von $(pq)'$. Da sich die Steigung von $\psi$ auf $\phi ^{2}$ vererbt, erhält man für den Betrag:

$|\phi (x_{k+1})|\geq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'<0$ und

$|\phi (x_{k+1})|\leq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'>0$.

$\Box$

Oszillationssatz

Der Oszillationssatz besagt für ${\mathcal {L}}\psi =0$, wenn neben den eingangs beschriebenen Anforderungen für $p,q$ zudem gilt:

$\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {1}{p(x)}}\mathrm {d} x$ und $\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}q(x)\mathrm {d} x$ sind divergent,

dann ist auf dem Intervall $(a,\infty )$ jede nicht-triviale Lösung oszillatorisch.

Zudem gilt im Falle von Dirichlet-Randbedingungen, dass jede $n$-te Eigenfunktion $\psi _{n}$ genau $n-1$ Nullstellen im Intervall $(a,b)$ hat.

Beweis

Seien $\phi$ ebenso wie $\psi :=p\phi '$ nicht-triviale Lösungen der homogenen Differentialgleichung. Mit $\phi '={\tfrac {1}{p}}\psi$ und wegen $-(p\phi ')'+q\phi =0$ ist $\psi '=(p\phi ')'=q\phi$ und somit :

${\begin{pmatrix}\phi \\\psi \end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{p}}\psi \\q\phi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{p}}\\q&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\phi \\\psi \end{pmatrix}}\quad \qquad$ (I).

Dieses lineare Differentialgleichungssystem hat nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn für jedes $\xi \geq a$ gilt ${\Big (}{\begin{smallmatrix}\phi (\xi )\\\psi (\xi )\end{smallmatrix}}{\Big )}={\Big (}{\begin{smallmatrix}\phi (\xi )\\p\phi '(\xi )\end{smallmatrix}}{\Big )}\neq {\big (}{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}{\big )}$, da sonst $\phi (\xi )=\phi (\xi )'=0$ und daher $\phi (\xi )\equiv 0$ sein müsste.

Gesucht sind daher oszillatorische Lösungen, die mittels der Prüfer-Transformation in ebenen Polarkoordinaten erhalten werden:

${\begin{pmatrix}\phi (x)\\\psi (x)\end{pmatrix}}=\rho (x){\begin{pmatrix}\sin \vartheta (x)\\\cos \vartheta (x)\end{pmatrix}}\qquad \qquad \qquad$ (II).

Dabei ist $\rho (x)={\big (}\phi ^{2}(x)+\psi ^{2}(x){\big )}^{1/2}$ und die dazugehörige Argumentfunktion lautet:

$\vartheta (x)=\arctan {\tfrac {\phi (x)}{\psi (x)}}\quad$ bzw. $\quad \vartheta (x)=\operatorname {arccot} {\tfrac {\psi (x)}{\phi (x)}}$.

Behauptung: Falls $\lim _{x\to \infty }\vartheta (x)\to \infty$, dann haben $\sin \vartheta (x)$ ebenso wie $\phi (x)$ unendlich viele Nullstellen.

Begründung: Aus (I) und (II) folgt

$\phi '\;{\stackrel {\mathrm {(II)} }{=}}\rho '\sin \vartheta +\rho \vartheta '\cos \vartheta \;{\stackrel {\mathrm {(I)} }{=}}{\frac {r}{p}}\cos \vartheta \qquad \qquad$ (III a)

$\psi '\;{\stackrel {\mathrm {(II)} }{=}}\rho '\cos \vartheta -\rho \vartheta '\sin \vartheta \;{\stackrel {\mathrm {(I)} }{=}}-q\sin \vartheta \qquad \quad \;$ (III b).

Wird die Gleichung (III a) mit $\cos \vartheta$ und Gleichung (III b) mit $-\sin \vartheta$ multipliziert und addiert, so ergibt sich:

$\vartheta '={\frac {1}{p}}\cos ^{2}\vartheta +q\sin ^{2}\vartheta >0\qquad \qquad \qquad \quad$ (IV),

$\vartheta$ ist also monoton wachsend.

Bleibt noch zu zeigen, dass $\vartheta$ unbeschränkt ist.

Wäre $\vartheta$ beschränkt, so existierten die Grenzwerte $\alpha :=\lim _{x\to \infty }\cos ^{2}\vartheta (x)$ und $\beta :=\lim _{x\to \infty }\sin ^{2}\vartheta (x)$ und es wäre $\alpha +\beta =1$. Insbesondere ist $\alpha >0$ oder $\beta >0$.

Sei im Folgenden $x_{0}>a$ so groß, dass $\cos ^{2}\vartheta (x)\geq {\tfrac {\alpha }{2}},\;\sin ^{2}\vartheta (x)\geq {\tfrac {\beta }{2}}$ für alle $x>x_{0}$. Dann liefert Gleichung (IV) nach Integration für alle $x>x_{0}$

${\begin{aligned}\vartheta (x)-\vartheta (x_{0})&=\int _{x_{0}}^{x}\vartheta '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\bigg (}{\frac {1}{p(t)}}\underbrace {\cos ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \alpha /2}+q(t)\underbrace {\sin ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \beta /2}{\bigg )}\mathrm {d} t\\&\geq {\frac {\alpha }{2}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{p(t)}}\mathrm {d} t+{\frac {\beta }{2}}\int _{x_{0}}^{x}q(t)\mathrm {d} t\quad {\xrightarrow[{x\to \infty }]{\quad }}\infty \end{aligned}}$

einen Widerspruch zur Voraussetzung. $\vartheta$ ist somit unbeschränkt.

$\Box$

Trennungssatz

Wird die Differentialgleichung $\textstyle {\mathcal {L}}\psi =\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi =0$ vermittels des dazugehörigen Fundamentalsystems in der Darstellung

$\psi ''+a_{1}\psi '+a_{0}\psi =0$

betrachtet, wobei $a_{0}={\tfrac {q}{p}}\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )$ und $a_{1}={\tfrac {p'}{p}}\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )$ ist, dann gelten für die Lösungen der Differentialgleichung folgende Aussagen:

1) Ist $\psi$ eine nicht triviale Lösung der Differentialgleichung, so hat $\psi$ höchstens abzählbar viele Nullstellen.

2) Die Nullstellen zweier linear unabhängigen Lösungen $\phi ,\psi$ trennen sich.

Siehe auch Abelsche Identität

Beweis

zu 1):
Sei $\xi \in (c,d)$ eine nicht triviale Nullstelle von $\psi \colon (c,d)\to \mathbb {R}$, dann ist $\psi '(\xi )\neq 0$, denn sonst wäre $\psi$ Lösung des Anfangswertproblems bestehend aus der Differentialgleichung $\psi ''+a_{1}\psi '+a_{0}\psi =0$ mit $y(\xi )=y'(\xi )=0$. Dieses Anfangswertproblem hat aber nur die triviale Lösung $\psi =0$. Also ist $\psi '(\xi )\neq 0$ und $\xi$ eine einfache Nullstelle.
Angenommen, die Nullstellen häufen sich in$x_{0}\in (c,d)$, dann gibt es $\xi _{n}\in (c,d)$ mit $\xi _{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}x_{0},\xi _{n}\neq x_{0}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zudem gilt $\psi (x_{0})=\lim \nolimits _{n\to \infty }\psi (\xi _{n})=0,\psi '(x_{0})=lim_{n\to \infty }{\tfrac {\psi (\xi )-\psi (x_{0})}{\xi -x_{0}}}=0$. Das ist ein Widerspruch, da $\psi$ eine nicht triviale Lösung ist und $\psi (x_{0})=0$ ist $\psi (x_{0})\neq 0$.
Die Menge der Nullstellen ist abzählbar. Sei $(c,d)\subset (a,b)$ ein kompaktes Teilintervall. Da sich die Nullstellen nirgends in $(c,d)$ häufen, hat der jeder Punkt $\alpha \in (c,d)$ eine offene Umgebung $U_{a}$, in der keine Nullstelle $\xi \neq a$ liegt. $(c,d)$ ist kompakt, folglich gibt es $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in (c,d)$, so dass $(c,d)\subset \bigcup \nolimits _{j=1}^{k}U_{\alpha _{j}}$. $(c,d)$ enthält daher höchstens endliche viele Nullstellen, denn ist $\xi \in (c,d)$ eine Nullstelle, so gilt: $\xi \in {\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}}$. Damit enthält $(a,b)$ höchstens abzählbare Nullstellen von $\psi$.

zu 2):
Seien $\phi ,\psi$ zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung $\psi ''+a_{1}\psi '+a_{0}\psi =0$ und seien $c<\xi _{1}<\xi _{2}<d$ zwei aufeinander folgende Nullstellen von $\psi$. Dann ist die Wronskideterminante nullstellenfrei und es gilt

wobei $W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}$ die Wronski-Determinante der Funktionen $\phi ,\psi$ angibt.

Andererseits gilt wegen den Voraussetzungen ${\mathcal {L}}_{1}\phi =0$ sowie ${\mathcal {L}}_{2}\psi =0$ auch:

$\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}+(q_{2}-q_{1})\phi \psi =0$.

Nach beidseitiger Integration

$\int _{c}^{d}{\big (}\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi {\big )}\mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}+\int _{a}^{b}(q_{2}-q_{1})\phi \psi \mathrm {d} x=0$

folgt nun

$\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})\phi \psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}\qquad$ (III).

Sind die Funktionen $\psi$ und $\phi :=p\psi '$ gegeben, so folgt mit Gleichung (II) $-(p\psi ')'+q_{2}\psi =0$, dass $\phi '=(p\psi ')'=q_{2}\psi$ und somit lässt sich die Wronski-Determinante wie folgt darstellen:

$W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}p\psi '&\psi \\q_{2}\psi &\psi '\end{vmatrix}}=p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}$.

Die Gleichung (III) erhält mit diesem Zwischenergebnis die Gestalt:

$\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}$.

Sei nun o.B.d.A. $\psi$ monoton wachsend auf dem Intervall $(c,d)\subseteq (a,b)$, so dass die Neumann-Randbedingung $\psi '(c)=0=\psi '(d)$ erfüllt ist, dann folgt

${\begin{aligned}\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x&=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}={\Big [}pq_{2}\left(\psi \right)^{2}{\Big ]}_{c}^{d}\\&=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right).\end{aligned}}$

Schlussendlich bleibt zu zeigen, dass $\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0$, denn nur in diesem Fall hat $\psi$ einen Vorzeichenwechsel und eine Nullstelle in $(c,d)$. Dazu wird der Amplitudensatz für $(pq_{2})'>0$ mit $|\psi (d)|<|\psi (c)|$ angewandt und folgende Ungleichungen betrachtet:

$p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad$ (*) und

$p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad$ (**)

Addition von (*) und (**) liefert

$p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)+p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0$

oder

$p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}+p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0$.

Da nun wegen der Voraussetzungen $p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0$ ist, muss gelten:

$p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\leq 0$.

Demzufolge gilt:

$\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)\leq 0$.

Da nun nach Voraussetzung $q_{1}-q_{2}>0$ und $p>0$ auf dem Intervall $(c,d)$ ist, muss $\psi$ einen Vorzeichenwechsel in $(c,d)$ haben. Dies kann jedoch nur erfüllt werden, wenn $\psi$ in $(c,d)$ eine Nullstelle hat.

$\Box$

Vergleichssatz

Der Sturmsche Vergleichsatz für periodische (oszillatorische) Funktionen $\phi ,\psi$ besagt, sind

${\mathcal {L}}_{1}\phi =-\left(p\,\phi '\right)'+q_{1}\phi =0\qquad$ (I)

${\mathcal {L}}_{2}\psi =-\left(p\,\psi '\right)'+q_{2}\psi =0\qquad$ (II)

die nicht-triviale Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems mit

$q_{1}>q_{2}>0$

so liegt im Intervall $(c,d)\subseteq (a,b)$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von $\phi$ mindestens eine Nullstelle von $\psi$. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass $pq_{2}>0$ monoton wachsend sein soll und daher $(pq_{2})'>0$.

Beweis

Wird Gleichung (I) von links mit $\psi$ multipliziert und von Gleichung (II), welche ebenfalls von links mit $\phi$ multipliziert wird, subtrahiert, so erhält man unter Verwendung der Lagrange-Identität:

${\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi &=\phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi \right)+\phi q_{2}\psi -\psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\phi \right)-\psi q_{1}\phi \\&=\phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi \right)-\psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\phi \right)+(q_{2}-q_{1})\phi \psi \\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}+(q_{2}-q_{1})\phi \psi ,\end{aligned}}$

wobei $W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}$ die Wronski-Determinante der Funktionen $\phi ,\psi$ angibt.

Andererseits gilt wegen den Voraussetzungen ${\mathcal {L}}_{1}\phi =0$ sowie ${\mathcal {L}}_{2}\psi =0$ auch

$0=\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}+(q_{2}-q_{1})\phi \psi$

und somit

$(q_{1}-q_{2})\phi \psi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}$.

Nach Trennung der Variablen und beidseitiger Integration folgt nun

$\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})\phi \psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}\qquad$ (III).

Sind die Funktionen $\psi$ und $\phi :=p\psi '$ gegeben, so folgt mit Gleichung (II) $-(p\psi ')'+q_{2}\psi =0$, dass $\phi '=(p\psi ')'=q_{2}\psi$ und somit lässt sich die Wronski-Determinante wie folgt darstellen:

$W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}p\psi '&\psi \\q_{2}\psi &\psi '\end{vmatrix}}=p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}$.

Die Gleichung (III) erhält mit diesem Zwischenergebnis die Gestalt:

$\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}$.

Sei nun o.B.d.A. $\psi$ monoton wachsend auf dem Intervall $(c,d)\subseteq (a,b)$, so dass die Neumann-Randbedingung $\psi '(c)=0=\psi '(d)$ erfüllt ist, dann folgt

${\begin{aligned}\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x&=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}={\Big [}pq_{2}\left(\psi \right)^{2}{\Big ]}_{c}^{d}\\&=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right).\end{aligned}}$

Schlussendlich bleibt zu zeigen, dass $\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0$, denn nur in diesem Fall hat $\psi$ einen Vorzeichenwechsel und eine Nullstelle in $(c,d)$. Dazu wird der Amplitudensatz für $(pq_{2})'>0$ mit $|\psi (d)|<|\psi (c)|$ angewandt und folgende Ungleichungen betrachtet:

$p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad$ (*) und

$p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad$ (**)

Addition von (*) und (**) liefert

$p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)+p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0$

oder

$p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}+p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0$.

Da nun wegen der Voraussetzungen $p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0$ ist, muss gelten:

$p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\leq 0$.

Demzufolge gilt:

$\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)\leq 0$.

Da nun nach Voraussetzung $q_{1}-q_{2}>0$ und $p>0$ auf dem Intervall $(c,d)$ ist, muss $\psi$ einen Vorzeichenwechsel in $(c,d)$ haben. Dies kann jedoch nur erfüllt werden, wenn $\psi$ in $(c,d)$ eine Nullstelle hat.

$\Box$

Beispiel

Die Bessel-Funktionen erster Gattung für $J_{0},J_{1}$ und $J_{2}$

Betrachtet wird die Besselsche Differantialgleichung:

$x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}J_{\nu }+x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)J_{\nu }=0$

mit $x>0$ und $\nu \in \mathbb {N} _{0}$. Die Eigenfunktionen $J_{\nu }$ sind die Bessel-Funktionen erster Gattung der Ordnung $\nu$, sie lauten:

$J_{\nu }(x)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2r+\nu }$.

...

$x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}J_{\nu }+x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)J_{\nu }=x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }\right)+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)J_{\nu }=0$

und daher:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }\right)+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)J_{\nu }=0$

Der Sturm-Liouville-Operator hat somit die Darstellung ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }\right)$ mit $\textstyle p=x,q=x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}$.

Mit den bewiesen Sätzen lassen sich daher ohne Mühe folgende Aussagen treffen (siehe Bild):

• Oszillationssatz:

Wie durch den Oszilltionssatz vorhergesagt, zeichnen sich die Potenzreihen $J_{0}$ und $J_{1}$ durch Schnittpunkte mit der $x$-Achse verbunden mit einem vorzeichenwechsel aus.

• Vergleichssatz:

Es genügt gemäß Beweis zu zeigen:

$\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x={\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}+q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}=p^{2}\left(\left(\psi '(d)\right)^{2}-\left(\psi '(c)\right)^{2}\right)<0$.

Es wird der Fall $\nu =0,1$ betrachtet.

Für periodische (oszillatorische) Funktionen $\psi =J_{0},\phi =J_{1}$, die nicht-triviale Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems

$\left(p\,J_{0}'\right)'+q_{1}J_{0}=0\qquad$ (I)

$\left(p\,J_{1}'\right)'+q_{2}J_{1}=0\qquad$ (II)

mit

$q_{1}>q_{2}$

sind, liegt im Intervall $(c,d)\subseteq (a,b)$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von $J_{0}$ mindestens eine Nullstelle von $J_{1}$.

Mathematische Theorie

Der geeignete mathematische Rahmen ist der Hilbertraum $L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x)$ mit dem Skalarprodukt

$\langle f,g\rangle :=\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,{\rm {d}}x$.

In diesem Raum ist $L$ ein selbstadjungierter Operator, wenn er auf der Menge der (im Sinne der schwachen Ableitung) differenzierbaren Funktionen, die die Randbedingungen erfüllen, definiert wird:

${\begin{aligned}{\mathfrak {D}}({\mathcal {L}})=\{&f\in L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x):f,pf'\in AC[a,b],\,{\mathcal {L}}f\in L^{2}([a,b];\\&;w(x){\rm {d}}x),\,\cos(\alpha )f(a)+\sin(\alpha )p(a)f'(a)=\cos(\beta )f(b)+\sin(\beta )p(b)f'(b)=0\}.\end{aligned}}$

Hierbei bezeichnet $AC[a,b]$ die Menge der auf $[a,b]$ absolut stetigen Funktionen. Da $L$ ein unbeschränkter Operator ist, betrachtet man die Resolvente

$(L-z)^{-1},\qquad z\in \mathbb {C}$,

wobei $z$ kein Eigenwert sein darf. Es stellt sich heraus, dass die Resolvente ein Integraloperator mit stetigem Kern (die Green'sche Funktion des Randwertproblems) ist. Somit ist die Resolvente ein kompakter Operator, und die Existenz einer abzählbaren Folge von Eigenfunktionen folgt aus dem Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von $L$ und der Resolvente folgt, da $(L-z)^{-1}\psi =\alpha \psi$ äquivalent ist zu $L\psi =\lambda \psi$ mit $\lambda =(z+\alpha ^{-1})$ ist.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme

Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem. Das Spektrum besteht dann im Allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil. Es gibt weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen, und die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist eine Integraltransformation (vergleiche Fouriertransformation anstelle von Fourierreihe).

Wechseln $p$ oder $w$ das Vorzeichen, so spricht man von einem indefiniten Sturm-Liouville-Problem.

Anwendung

• Der Fall $p(x)=w(x)=1$ entspricht der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung.
• Der Separationsansatz zur Lösung partieller Differentialgleichungen führt auf Sturm-Liouville-Probleme.