Noetherscher Ring

In der Algebra werden bestimmte Strukturen (Ringe und Moduln) noethersch genannt, wenn sie keine unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin Emmy Noether benannt.

Noethersche Moduln

Es sei R ein unitärer Ring. Ein R-Linksmodul M heißt noethersch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Jeder Untermodul ist endlich erzeugt.
• (Aufsteigende Kettenbedingung) Jede aufsteigende Kette

$N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq N_{3}\subseteq \ldots$

von Untermoduln wird stationär, d.h. es gibt einen Index n, so dass

$N_{n}=N_{n+1}=N_{n+2}=\ldots$

• (Maximalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von R-Untermoduln von M hat ein maximales Element bezüglich Inklusion.

Noethersche Ringe

Ein Ring R heißt

• linksnoethersch, wenn er als R-Linksmodul noethersch ist;
• rechtsnoethersch, wenn er als R-Rechtsmodul noethersch ist;
• noethersch, wenn er links- und rechtsnoethersch ist.

Bei kommutativen Ringen sind alle drei Begriffe identisch und äquivalent dazu, dass alle Ideale in R endlich erzeugt sind.

Eigenschaften und Beispiele

• Ist R linksnoethersch, das Jacobson-Radikal $J=\operatorname {Rad} (R)$ nilpotent, und $R/J$ halbeinfach, dann ist R auch linksartinsch.
• Endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen sind noethersch. Die endlich erzeugten Moduln über einem noetherschen Ring bilden eine abelsche Kategorie; die Voraussetzung, dass der Ring noethersch ist, ist dabei essentiell.
• Quotienten und Lokalisierungen noetherscher Ringe sind noethersch.
• Ist R ein noetherscher Ring, so ist auch der Polynomring $R[X]$ noethersch (Hilbertscher Basissatz). Insbesondere sind endlich erzeugte Algebren über einem Körper noethersch.
• Hauptidealringe oder allgemeiner Dedekindringe sind noethersch.
• Der Polynomring ${\mathbb {C}}[X_{1},X_{2},...]$ in unendlich vielen Unbestimmten ist nicht noethersch, da das Ideal, das von allen Unbestimmten erzeugt wird, nicht endlich erzeugt ist.
• Der Matrizenring ${\begin{pmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{pmatrix}}$ ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.

siehe auch

• artinsch