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Liouville-Gleichung

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Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch von-Neumann'sche Bewegungsgleichung genannt. Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. dass der Fluss durch den Phasenraum Volumen- und sogar Orientierungs-erhaltend ist.

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Für die zeitliche Entwicklung eines solchen Ensembles gilt

wobei die und die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten des -ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen. Unabhängig vom gewählten Ensemble verschwindet die totale zeitliche Ableitung, was bedeutet, dass sich entlang einer Phasenraumtrajektorie die Phasenraumdichte nicht verändert. Mit Hilfe der Poisson-Klammer lässt sich dasselbe kürzer ausdrücken:

wobei H die Hamilton-Funktion und die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch "Liouville-Theorem" genannt).

Quantenmechanische Gleichung

Hier bezeichnet H den Hamilton-Operator, die Dichtematrix und die eckigen Klammern den Kommutator.