Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {s}{s^{2}+(x-t)^{2}}}$.

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

$P(X<x)=F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan {\frac {x-t}{s}}$

Mit dem Zentrum t=0 und dem Breitenparameter s=1 ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad

$\mathrm {f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Cauchy-Verteilung ist ebenfalls bekannt als Lorentz-Verteilung oder Lorentz-Kurve (nach Hendrik Antoon Lorentz). In der Physik wird oft die Bezeichnung Breit-Wigner-Verteilung benutzt.

Eigenschaften

Die Cauchy-Verteilung gilt als Prototyp einer Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind. Jedoch besitzt sie einen Median $\mathrm {{\tilde {x}}=0}$ und einen Modus.

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert (X₁+X₂+..+X_n)/n aus n Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile (Lévy-) Verteilung mit dem Exponentenparameter α=1.

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, d.h. die Faltung einer Lorentzkurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{a}$ mit einer Lorentzkurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{b}$ ergibt wieder eine Lorentzkurve mit der Halbwertsbreite $\Gamma _{c}$.

Vorkommen

Der Quotient aus zwei Standard-normalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.

Die Cauchy-Verteilung ist eine Students t-Verteilung mit genau einem Freiheitsgrad.

Außerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Cauchy-Verteilung auch als Lorentz-Verteilung bekannt.

Anwendungsbeispiel

Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1% größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,58, beträgt bei einer Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze ca. 31. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung cauchyverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion F(x) lautet hierbei $F^{-1}(y)=\tan(\pi y)$. Zu einer Folge von Standardzufallszahlen $u_{i}$ lässt sich daher eine Folge $x_{i}:=\tan(\pi u_{i})$ cauchyverteilter Zufallszahlen berechnen.

Literatur

• W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications

Weblinks

• Universität Konstanz - Interaktive Animation
• StatWiki - Beweis von Eigenschaften