Messbare Funktion

Eine messbare Funktion ist in der Mathematik definiert als eine Funktion $f$ aus einem Messraum ($X_{1},{\mathcal {A}}_{1}$) in einen anderen Messraum ($X_{2},{\mathcal {A}}_{2}$), die der Bedingung genügt, dass $\forall A\in {\mathcal {A}}_{2}:\ f^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{1}$, und somit das Urbild jeder messbaren Teilmenge aus $X_{2}$ eine messbare Teilmenge von $X_{1}$ ist. Eine solche Funktion wird auch als ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {A}}_{2}$messbar bezeichnet.

Werden die σ-Algebren ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}$ von Topologien ${\mathcal {S}}$ und ${\mathcal {T}}$ erzeugt; also ${\mathcal {A}}_{1}=\sigma ({\mathcal {S}})$ und ${\mathcal {A}}_{2}=\sigma ({\mathcal {S}})$, dann genügt es die Messbarkeit von $f$ für alle $U\subseteq {\mathcal {T}}$ zu zeigen. Für eine Abbildung $f$ von einem Messraum ($X,{\mathcal {A}}$) nach $\mathbb {R}$ gilt somit, dass $f$ genau dann messbar ist, wenn

$[f\leq a:a\in \mathbb {R} ]:=\{x\in X:f(x)\leq a,a\in \mathbb {R} \}\in {\mathcal {A}}$.

Die Verknüpfung messbarer Funktionen ist wieder eine messbare Funktion. Ferner sind stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen (ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra) messbar.

Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit ein Maß zugeordnet werden kann.

Siehe auch

Tabelle mathematischer Symbole