Blacksche Gleichung

Mit Hilfe der Blackschen Gleichung lassen sich Lebensdauern von Leiterbahnen in Integrierten Schaltungen (ICs), die unter Einfluss von erhöhter Temperatur und erhöhter Stromdichte getestet worden sind, auf Lebensdauern unter realen Bedingungen extrapolieren.

Integrierte Schaltungen müssen in der Lage sein, zuverlässig über Jahre oder sogar Jahrzehnte zu funktionieren. Als Maß hierfür verwendet man 1 Failure Unit (FIT). Das ist ein Ausfall in 10⁹ Stunden (ca. 100'000 Jahre). Computer, wie sie gewöhnlich auf dem Markt erhältlich sind, sollten nach Möglichkeit 40000–60000 Stunden und im Militärbereich sogar über hunderttausend Stunden ohne Ausfall funktionieren. Es ist daher nicht sinnvoll, diese unter Betriebsbedingungen zu testen und darauf zu warten, dass ein statistisch signifikanter Teil der Proben ausfällt. Um in der Lage zu sein, mit möglichst geringem Zeitaufwand nützliche Informationen über die Elektromigration (EM) Lebenszeit zu gewinnen, werden die Experimente unter beschleunigenden Bedingungen durchgeführt. Erreicht wird dies durch Erhöhung der Stromdichte und der Umgebungstemperatur. Typische Werte für die Temperatur sind ϑ = 175 bis 300 °C und für die Stromdichte j = 10⁶ A/cm² – 10⁷ A/cm². Diese Stresskombination verringert die Ausfallzeit von Jahren auf Wochen oder sogar Tage. Die Lebenszeit unter normalen Betriebsbedingungen kann dann mit der Blackschen Gleichung extrapoliert werden.

Die Bestimmung des Ausfallskriteriums stellt eine weitere Schwierigkeit dar. Man kann hierfür den Totalausfall der Leitung, eine bestimmte Widerstandsänderung oder den Kurzschluss zweier benachbarter Leitungen wählen.

Mittlere Ausfallzeit

Die Standard-Elektromigration-Test-Methode wird verwendet, um Abschätzungen für die mittleren Ausfallzeiten (MTTF: mean time to Fail) als auch Abschätzungen für die Standardabweichung (σ) der Proben zu erhalten. Mit MTTF und σ lässt sich die Ausfallverteilung beschreiben. Zunächst wird die Ausfallzeit (TTF) bestimmt. Hierzu führt man jeweils N Tests mit einer Leiterbahnart bei unterschiedlichen Stresstemperaturen und/oder Stromdichten durch. Während des Tests wird die Streßtemperatur der Metallisierung unter Berücksichtigung der Jouleschen Eigenheizung bestimmt. Die Abschätzung für MTTF erhält man aus dem Exponenten des Durchschnitts der natürlichen Logarithmen von den einzelnen Ausfallzeiten. Mit der Variable t₅₀ wird betont, dass MTTF für die mittlere (median) und nicht für den Effektivwert (mean) der TTF beziehungsweise t_f steht.

{\hat {t}}_{50}=\exp {\overline {\ln t_{f}(i)}}

Hierbei durchläuft i alle Proben von 1 bis N. Die Abschätzung von σ ist gleich der Standardabweichung des Logarithmus der Ausfallzeiten, unter Berücksichtigung des systematischen Fehlers.

{\hat {\sigma }}=\left[1+{\frac {1}{4(N-1)}}\right]\cdot {\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}\left(\ln t_{fi}-\ln t_{f}\right)^{2}}{N-1}}}

Um zu verifizieren, dass die Proben der log-Normalverteilung gehorchen, trägt man auf einfach logarithmischem Wahrscheinlichkeitspapier die Prozentzahl der ausgefallenen Leitungen über den Ausfallzeiten in Stunden auf. Die einzelnen Punkte sollten sich in der Nähe der Ausgleichsgraden befinden.

Grundlegende Theorie zur Blackschen Gleichung

Die von James R. Black hergeleiteten Zusammenhänge und Gleichungen sollen im Folgenden erläutert werden. Elektronen in einem feldfreien Leiter bewegen sich in völlig willkürliche Richtungen. Beschleunigte und nicht beschleunigte Elektronen geben bei ihrem Zusammenstoß mit Ionen ihren gesamten Impuls ab. Das geschieht durch elastischen Stoß. Die vom Elektron aufgenommene Feldenergie ist bei diesem Vorgang vernachlässigbar klein gegenüber der thermischen Energie. Im Folgenden werden die Konstanten C1-C3 verwendet, sie helfen die Konstante A zu verstehen, die etwas später erläutert werden soll. Der Massendurchsatz (R) durch Impulsübertragung zwischen thermisch angeregten Ionen und Elektronen ist dabei direkt proportional zu der Anzahl der im Aluminium aktivierten Ionen pro cm³ ( $\rho _{{ion}_{Al}}$ ), der Anzahl der in einem Volumen (V) zum Stoß mit aktivierten Ionen verfügbaren Elektronen (N_e) pro Zeit (t), dem Impuls der Elektronen (p_e) und dem effektiven Ionenquerschnitt ( $A_{ion_{\mathit {eff}}}$ ).

R=C_{1}\cdot \rho _{ion_{Al}}\cdot {\frac {N_{e}}{V\cdot t}}\cdot p_{e}\cdot A_{ion_{\mathit {eff}}}\qquad \mathrm {mit} \qquad N_{e}=\rho _{e}\cdot v_{d}={\frac {j}{e}}

Einen weiteren Impuls (p_e) erfährt ein Elektron durch ein elektrisches Feld.

p_{e}=e\cdot E\cdot {\frac {l}{{\bar {v}}_{e}}}=e\cdot \rho \cdot j\cdot \tau

Dabei ergibt der Quotient der mittleren freien Weglänge l und der durchschnittlichen Geschwindigkeit der Elektronen ${\bar {v}}_{e}$ die mittlere Zeit zwischen den Kollisionen τ. Bestimmt wird ${\bar {v}}_{e}$ überwiegend durch die thermische Geschwindigkeit $v_{\vartheta }$ . Die Driftgeschwindigkeit v_d hat nur wenig Einfluss auf ${\bar {v}}_{e}$ . Die Dichte der aktivierten Aluminiumionen ( $\rho _{akt_{Al}}$ ) in einem Metall wird in der Arrhenius-Gleichung berücksichtigt.

\rho _{akt_{Al}}=C_{2}\cdot e^{-{\frac {E_{A}}{k\cdot T}}}

Der Massendurchsatz in Dünnfilm-Metallleitern durch den Querschnitt, ist mit der MTTF durch folgende Gleichung gegeben:

R={\frac {C_{3}\cdot b\cdot h}{t_{50}}}

Der Querschnitt berechnet sich aus dem Produkt Breite (b) und Höhe (h). Er geht direkt in die Gleichung ein, da dieser die minimale Größe der "voids" bestimmt, welche zum Ausfall führen. Der Einfluss des Querschnitts auf die Lebensdauer eines Leiters wird in der Literatur (siehe unten) beschrieben. Es lassen sich nun die oben genannten Gleichungen in die letzte Gleichung einsetzen.

${\frac {b\cdot h}{t_{50}}}$	$=C_{1}\left(e\cdot \rho \cdot j{\frac {l}{{\bar {v}}_{e}}}\right)\left({\frac {j}{e}}\right)\cdot A_{streu_{ion}}\cdot C_{2}\cdot e^{-{\frac {E_{A}}{k\cdot T}}}$
	$=C_{1}\left(\rho \cdot {\frac {l}{{\bar {v}}_{e}}}\cdot A_{streu_{ion}}\cdot j^{2}\right)\cdot C_{2}\cdot e^{-{\frac {E_{A}}{k\cdot T}}}\qquad {\textrm {mit}}\quad C_{3}={\frac {1}{C_{1}\cdot C_{2}}}\quad {\textrm {und}}\quad A=\rho \cdot {\frac {l}{{\bar {v}}_{e}}}\cdot A_{streu_{ion}}$

Die erste Klammer der zweiten Zeile in der oberen Gleichung beschreibt die Kraft zwischen den leitenden Elektronen und Ionen. Der zweite Term hingegen beschreibt die Dichte der aktivierten Ionen als Funktion der Temperatur. Fügt man die Konstanten zusammen so erhält man:

{\frac {b\cdot h\cdot C_{3}}{t_{50}}}=A\cdot j^{2}\exp \left(-{\frac {E_{A}}{k\cdot T}}\right)

In der Konstante A werden mehrere physikalische Eigenschaften zusammengefaßt

Die Widerstandsgröße des Metalls bezogen auf ein Volumen
Die freie Weglänge der Elektronen und deren durchschnittliche Geschwindigkeit
Der effektive Ionenquerschnitt an denen Elektronen gestreut werden können
Der Frequenzfaktor der Eigendiffusion von Aluminium in Aluminium
Ein Faktor welcher den Massendurchsatz mit der MTTF verbindet

Die Gleichung wurde in der Literatur mit einem weiteren Modellparameter für die Stromdichte n angepasst.

t_{50}={\frac {A'}{j^{n}}}\cdot \exp \left({\frac {E_{A}}{k\cdot T}}\right)

Es hat sich gezeigt, daß durch diese Anpassung die Blacksche Gleichung auch für andere Leiterbahnen in guter Näherung stimmt. Der Exponent n ist dabei abhängig von der verwendeten Stromdichte, der Streifentemperatur (hauptsächlich dem Temperaturgradienten), der Geometrie der Leiterbahn und dem Leiterbahnmaterial. Daher ist es nicht weiter verwunderlich, dass man in der Literatur verschiedene Werte für n findet.

n=1 bis 3	Chabra Ainslie
n=6 bis 7	Blair, Ghate und Haywood
n=1,5	Attardo
n=1,7	Danso und Tullos

Für einen konstanten Strom lässt sich t₅₀ zu einer anderen Temperatur extrapolieren:

{\frac {t_{50}(T_{1})}{t_{50}(T_{2})}}=\exp \left[{\frac {E_{A}}{k}}\left({\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}\right)\right]

In der Literatur wird beschrieben wie aus dieser Proportionalität t₅₀ ist proportional zu $\exp \left({\frac {E_{A}}{k\cdot T}}\right)$ eine Geradengleichung gewinnt. Mit Hilfe der linearen Regression lässt sich so leicht prüfen ob die gemessenen Werte in der Nähe dieser Geraden liegen.

\ln t_{50}={\frac {E_{A}}{k\cdot T}}+X

Der Parameter X ist dabei eine Konstante unter Einbeziehung von A' und n

In der Abbildung rechts wird schematisch dargestellt, wie man aus der Ausgleichsgeraden die Steigung erhält. Aus der Steigung kann dann die Aktivierungsenergie bestimmt werden.

Bei Variation der Stromdichte bei konstanter Temperatur erhält man:

{\frac {t_{50}(j_{1})}{t_{50}(j_{2})}}=\left({\frac {j_{1}}{j_{2}}}\right)^{-n}

Mit dieser Proportionalität t₅₀ ist proportional zu ${\frac {1}{j^{n}}}$ lässt sich eine Geradengleichung aufstellen. Mit Hilfe dieser Geraden lassen sich die gemessenen Daten leicht verifizieren.

\ln t_{50}=-n\cdot \ln j+Y

Dabei stellt Y eine Konstante dar, die A' und E_A einbezieht.

In der Abbildung rechts wird schematisch dargestellt, wie man aus der Ausgleichsgeraden den Parameter n erhält.

Literatur

EIA/JESD63: Standard Method for Calculating the Electromigration Model Parameters for Current Density and Temperature. EIA/JEDEC Standard, Februar 1998
Black, J. R.: Electromigration Failure Modes in Aluminium Metallization for Semiconductor Devices. Proceedings of the IEEE, Vol. 57(No. 9):p. 1587 1594, September 1969
Black, J. R.: Metallization Failures In Integrated Circuits. RADC Technical Report, Vol. TR-68-243, Oktober 1968.
VLSI Technology. McGraw-Hill Book Company, 1988
Ghate, P. B.: Electromigration-Induced Failures in VLSI Interconnects. IEEE Conference Publication, Vol. 20:p 292 299, März 1982.
D. S. Chabra, N. G. Ainslie: Open Circuit Failures in Thin Film Conductors. IBM Components Div., E. Fishkill, Tech. Report 22.419, July 1967
J. C. Blair, P. B. Ghate, C. T. Haywood: Electromigration Induced Failures in Aluminium Film Conductors. Appl. Phys. Letters, Vol. 17:p. 281, 1970.
J.R. Venables und R. G. Lye, M. J. Attardo: A Statistical Model for Electromigration-Induced Failures in Thin Film Conductors. Proc. 10th Ann. Rel. Phys. Symp. IEEE, Seite p. 159, 1972
K. A. Danso, T. Tullos: Thin Film Metallization Studies and Device Lifetime Prediction using Al-Si, Al-Cu-Si Conductor Test Bars. Microelectronics Reliab., Vol. 21:p. 513, 1981