Würfel (Geometrie)

In der Geometrie bezeichnet man mit Würfel, Hexaeder oder Kubus einen Vielflächner (Polyeder), dessen Seiten Quadrate sind. Genauer gesagt handelt es sich um den Sechsflächner (Hexaeder) mit 12 Kanten und 8 Ecken, die Kanten sind alle gleich lang. Der Würfel ist einer der fünf platonischen Körper.

Würfel der Seitenlänge l

• Volumen: $V=a^{3}$
• Oberfläche: $A_{\mathrm {O} }=6a^{2}$
• Umkreisradius: $r_{\mathrm {u} }={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}$
• Inkreisradius: $r_{\mathrm {i} }={\frac {a}{2}}$

Man kann diesen dreidimensionalen Begriff auf höherdimensionale Räume verallgemeinern, um z.B. den vierdimensionalen Hyperwürfel (Tesserakt) zu erhalten, der 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenflächen und 8 Seitenwürfel hat. Allgemein hat ein n-dimensionaler Hyperwürfel ${n \choose k}\cdot 2^{n-k}$ k-dimensionale Seitenelemente (k=0: Punkte, k=1: Kanten, k=2: Quadrate, k=3: Würfel, k=4: Tesserakte, ...), hier ist ${n \choose k}$ der Binomialkoeffizient.

In der linearen Algebra spricht man auch vom Einheitswürfel des Vektorraumes Rⁿ. Das ist die Teilmenge [0,1]×...×[0,1], ein n-dimensionaler achsenparalleler Würfel mit Seitenlänge 1 und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im Rⁿ, die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.