Differential-algebraische Gleichung

In einer differential algebraischen Gleichung (auch Algebro-Differentialgleichung oder Deskriptor-System) sind eine gewöhnliche Differentialgleichung und algebraische Nebenbedingungen gekoppelt und werden als eine Gleichung aufgefasst.

Die allgemeinste Form einer differentiell-algebraischen Gleichung ist eine implizite Differentialgleichung in der Form

$f({\dot {x}}(t),x(t),t)=0$

für eine Funktion $x:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit $I\subset \mathbb {R}$. Eine Gleichung in dieser impliziten Form ist nur dann (lokal) nach ${\dot {x}}$ auflösbar, wenn die partielle Ableitung $f_{\dot {x}}$ regulär ist. Dies folgt aus dem klassischen Satz über implizite Funktionen. In diesem speziellen Fall kann man die implizite Gleichung umschreiben in die Form

${\dot {x}}=g(x,t)$

und hat damit wieder eine explizite gewöhnliche Differential-Gleichung.

Eine echte differentiell-algebraische Gleichung liegt nur dann vor, wenn die partielle Ableitung $f_{\dot {x}}$ singulär ist. Dann zerfällt die implizite Differentialgleichung intern in eine inhärente Differentialgleichung und eine algebraische Nebenbedingung. Dies entspricht praktisch einer Differentialgleichung, die auf einer Mannigfaltigkeit betrachtet wird. Das praktische Problem bei der impliziten Differentialgleichung ist jedoch, dass diese Mannigfaltigkeit zunächst nicht explizit bekannt ist.

Semi-explizite differentiell-algebraische Gleichung

Ein spezieller Fall für eine differentiell-algebraische Gleichung ist ein System in der Form

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},t)\quad ,\quad 0=f_{2}(x_{1},x_{2},t)$

Differentationsindex

Oftmals kann die Lösung eines Algebro-Differentialgleichungssystems durch (spezielle) Lösungskurven eines gewöhnlichen Differentialgleichungssystems dargestellt werden, obwohl $f_{\dot {x}}$ singulär ist. Eine Schlüsselrolle nimmt hierbei der Differentationsindex des Algebro-Differentialgleichungssystems ein.

Numerische Verfahren zur Lösung von Algebro-Differentialgleichungssystemen können meist nur Systeme integrieren, deren Differentationsindex einen gewissen Maximalwert nicht überschreitet. So darf der Differentationsindex des Systems beim impliziten Euler-Verfahren zum Beispiel nicht größer als eins sein.

Der Differentationsindex eines Algebro-Differentialgleichungssystems

$f({\dot {x}},x,t)=0$

ist die Anzahl $N\geq 0$ der Zeitableitungen, die notwendig sind, um aus dem entstehenden Gleichungssystem

${\begin{matrix}f({\dot {x}},x,t)&=&0\\{\frac {d}{dt}}\left(f({\dot {x}},x,t)\right)&=&0\\&\vdots &\\{\frac {d^{N}}{dt^{N}}}\left(f({\dot {x}},x,t)\right)&=&0\end{matrix}}$

durch algebraische Umformungen ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem

${\dot {x}}=g(x,t)$

extrahieren zu können.

Beispiele

• Ein Algebro-Differentialgleichungssystem mit regulärer Matrix $f_{\dot {x}}$, das also algebraisch nach ${\dot {x}}$ umgestellt werden kann, hat den Differentationsindex null.
• Eine rein algebraische Gleichung

$F(x,t)=0$

mit regulärer Jacobi-Matrix $F_{x}(x,t)$, die als Algebro-Differentialgleichung mit $f({\dot {x}},x,t)=F(x,t)$ interpretiert wird, hat Differentationsindex eins: Nach einmaligem Differenzieren erhält man die Gleichung

$0={\frac {d}{dt}}f({\dot {x}},x,t)=F_{t}(x,t)+F_{x}(x,t){\dot {x}},$

die nach ${\dot {x}}$ auflösbar ist:

${\dot {x}}=-F_{x}(x,t)^{-1}F_{t}(x,t).$

Diese Tatsache wird manchmal zur Konstruktion von Homotopieverfahren genutzt.

• Die Euler-Lagrange-Gleichungen für das mathematische Pendel (mit auf eins normierter Erdbeschleunigung und Pendellänge) lauten

${\begin{matrix}{\ddot {x}}_{1}&=&2x_{1}\lambda \\{\ddot {x}}_{2}&=&2x_{2}\lambda -1\\0&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1\end{matrix}}$

Dieses Algebro-Differentialgleichungssystem hat den Differentationsindex drei:
Zweifache Zeitableitung der Zwangsbedingung (dritte Gleichung) nach der Zeit liefert

$2\left(x_{1}{\ddot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{1}^{2}+x_{2}{\ddot {x}}_{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)=0$

Mit Hilfe der zwei Differentialgleichungen in den Euler-Lagrange-Gleichungen lassen sich die zweiten zeitlichen Ableitungen ${\ddot {x}}_{1}$ und ${\ddot {x}}_{2}$ ersetzen, was

$2\left(2x_{1}^{2}\lambda +{\dot {x}}_{1}^{2}+2x_{2}^{2}\lambda -x_{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)=0$

liefert. Mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ erhält man daraus die Gleichung $\lambda =-{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}x_{2}.$ Durch Zeitableitung dieser Gleichung (das ist die dritte Zeitableitung) kommt man dann auf die fehlende Differentialgleichung für $\lambda$

${\begin{matrix}{\dot {\lambda }}&=&-{\dot {x}}_{1}{\ddot {x}}_{1}-{\dot {x}}_{2}{\ddot {x}}_{2}+{\frac {1}{2}}{\dot {x}}_{2}\\&=&-2\lambda ({\dot {x}}_{1}x_{1}+{\dot {x}}_{2}x_{2})-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}_{2}\\&=&-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}_{2}\end{matrix}}$

wobei wieder die Differentialgleichungen aus den Euler-Lagrange-Gleichungen genutzt wurden, um ${\ddot {x}}_{1}$ und ${\ddot {x}}_{2}$ zu ersetzen und außerdem berücksichtigt wurde, dass $2({\dot {x}}_{1}x_{1}+{\dot {x}}_{2}x_{2})={\frac {d}{dt}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)={\frac {d}{dt}}(1)=0$ gilt.

Geometrischer Index

Ein mathematisch klar gefasster und geometrisch gut interpretierbarer Begriff ist der geometrische Index eines Algebro-Differentialgleichungssystems. Allerdings ist für das Verständnis des geometrischen Index ein wenig Differentialgeometrie auf Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ notwendig. Die Grundidee ist, dass man nach dem im Folgenden dargestellten iterativen Verfahren die maximale Zwangsmannigfaltigkeit ermittelt, auf der die Algebro-Differentialgleichung ein Vektorfeld (als Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit) beschreibt. Der geometrische Index des Algebro-Differentialgleichungssystems ist dann die minimale Anzahl an Iterationsschritten, die bei diesem Verfahren benötigt wird.

Zum Beispiel in [2] wird gezeigt, dass der geometrische Index gleich dem Differentationsindex ist.

Gegeben sei eine autonome Algebro-Differentialgleichung

$f({\dot {x}}(t),x(t))=0$

mit hinreichend oft differenzierbarer Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.

Die durch die Gleichung

$f({\dot {x}},x):=\left({\begin{matrix}x_{3}\\{\dot {x}}_{1}-\cos(x_{2})\\{\dot {x}}_{3}-\sin(x_{2})\end{matrix}}\right)$

definierte Funktion und die zugehörige Algebro-Differentialgleichung dienen im folgenden Text als mitlaufendes Beispiel.

Das Beispiel ist im Text durch Einrückungen gekennzeichnet.

Im Rahmen des Algorithmus wird der $\mathbb {R} ^{n}$ als Mannigfaltigkeit $M_{0}:=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Tangentialbündel $TM_{0}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ interpretiert. Die Paare $(x,y)\in TM_{0}$ werden auch als Tangentialvektoren des $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet.

Durch die Funktion $f$ ist die Menge $N:=\left\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid f(v,x)=0\right\}$ festgelegt, die jedem Punkt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ alle für Lösungen des Algebro-DGL-Systems zulässigen Geschwindigkeitsvektoren $v$ in diesem Punkt zugeordnet.

Es ist möglich, dass für ein Punkt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ überhaupt keine Paar $(x,v)$, genau ein solches Paar oder mehrere solcher Paare in $N$ existieren.

Im Beispiel gibt es für alle Punkte $x\in \mathbb {R} ^{3}$, die nicht in der durch $x_{3}=0$ definierten Ebene liegen, keine Paare $(x,v)\in N$. Also verlaufen in diesem Beispiel außerhalb dieser Ebene keine Lösungen der Algebro-Differentialgleichung.

Die Punkte, durch die eventuell Lösungen gehen können, erfasst man in der Menge

$\left.M_{1}:=\mathrm {pr} _{1}N,\right.$

(mit der Projektion $\mathrm {pr} _{1}$ auf die erste Komponente, also $\mathrm {pr} _{1}N=\{x\mid (x,y)\in N\}$). An dieser Stelle soll davon ausgegangen werden, dass $M_{1}$ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ darstellt.

Im Beispiel ergibt sich $M_{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{3}=0\}$.

Jeder Tangentialvektor $(x(t),{\dot {x}}(t))$ an eine Lösung $x:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ der Algebro-Differentialgleichung muss auch im Tangentialbündel

$TM_{1}:=\left\{({\bar {x}}(0),{\dot {\bar {x}}}(0))\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid {\bar {x}}\in C^{1}((-\epsilon ,\epsilon ),M_{1}){\mbox{ mit einem }}\epsilon >0\right\}$

von $M_{1}$ liegen (dabei bedeutet ${\bar {x}}\in C^{1}((-\epsilon ,\epsilon ),M_{1})$, dass ${\bar {x}}$ eine auf einem Intervall $(-\epsilon ,\epsilon )$ definierte, einmal stetig differenzierbare Kurve ist, die vollständig in $M_{1}$ liegt).

Im Beispiel ergibt sich $TM_{1}=\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\mid x_{3}=v_{3}=0\}$.

Die Tangentialvektoren an Lösungen der Algebro-Differentialgleichung müssen auch in der Menge $N\cap TM_{1}$ und damit die Lösungen selber in der Menge $M_{2}:=\mathrm {pr} _{1}(N\cap TM_{1})$ liegen.

Im Beispiel ergibt sich

$N\cap TM_{1}=\left\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\mid x_{3}=0,\,v_{1}=\cos(x_{2}),\,v_{3}=\sin(x_{2}),\,v_{3}=0\right\}.$

Wie man sieht, liegt der durch $N$ vorgegebene Tangentialvektor $(x,v)$ (des $\mathbb {R} ^{3}$) für Werte $x_{2}\neq k\pi$ mit $k\in \mathbb {Z}$ wegen $v_{3}=\sin(x_{2})\neq 0$ nicht im Tangentialraum $TM_{1}$, kann also nicht zu einer Lösung des Algebro-Differentialgleichungssystems korrespondieren. Damit ergibt sich

$M_{2}=\mathrm {pr} _{1}(N\cap TM_{1})=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid k\in \mathbb {Z} ,\,x_{2}=k\pi ,x_{3}=0\right\}$

Diesen Prozess kann man (unter bestimmten Bedingungen) fortsetzen und aus der Zwangsmannigfaltigkeit $M_{k}$ die Zwangsmannigfaltigkeit $M_{k+1}:=\mathrm {pr} _{1}(N\cap TM_{k})$ bilden. Es ist möglich, dass ab einem $k\in \{0,1,\ldots \}$ jedem Punkt $x\in M_{k+1}$ in $N\cap TM_{k}$ genau ein Tangentialvektor $(x,v)$ zugeordnet ist. Dann beschreibt $N\cap TM_{k}$ ein Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit $M_{k+1}$.

Der geometrische Index der Algebro-Differentialgleichung ist gerade die minimale Zahl $k\in \{0,1,\ldots \}$ für die $N\cap TM_{k}$ ein Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit $M_{k+1}$ beschreibt.

Im Beispiel ergibt sich

$TM_{2}=\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid k\in \mathbb {Z} ,\,x_{2}=k\pi ,\,x_{3}=0,\,v_{2}=v_{3}=0\}$

und die Menge

$N\cap TM_{2}=\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid k\in \mathbb {Z} ,\,x_{2}=k\pi ,\,x_{3}=0,\,v_{2}=v_{3}=0,\,v_{1}=(-1)^{k}\}$

ordnet jedem Punkt $x$ aus der Menge $M_{3}=\mathrm {pr} _{1}(N\cap TM_{2})$ (die hier gerade gleich $M_{2}$ ist) genau einen Tangentialvektor zu. Bei der Menge $N\cap TM_{1}$ ist das noch nicht der Fall, da bei Tangentialvektoren aus dieser Menge die Komponente $v_{2}$ noch nicht eingeschränkt ist.

Der geometrische Index des Algebro-Differentialgleichungssystems in diesem Beispiel ist also gleich zwei.

Ist $M_{1}$ eine Mannigfaltigkeit, so kann diese mit Hilfe einer Funktion $g_{1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m_{1}}$ in der Form

$M_{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid g_{1}(x)=0\}$

dargestellt werden. Die einschränkenden Gleichungen $g_{1}(x)=0$ in dieser Darstellung werden als Zwangsbedingungen der Algebro-Differentialgleichung bezeichnet.

Im Beispiel: $g_{1}(x)=x_{3}$.

Darüber hinaus kann für $k=2,3,\ldots$ die Mannigfaltigkeit $M_{k}$ mit Hilfe einer Funktion $g_{k}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m_{k}}$ aus der Mannigfaltigkeit $M_{k-1}$ ausgesondert werden: $M_{k}=\{x\in M_{k-1}\mid g_{k}(x)=0\}.$ Die Gleichungen $g_{k}(x)=0$ mit $k=2,3,\ldots$ werden auch als verdeckte Zwangsbedingungen der Algebro-Differentialgleichung bezeichnet (engl.: hidden constraints).

Im Beispiel: $g_{2}(x)=sin(x_{2})$..

Bemerkungen:

• Das in diesem Abschnitt nur autonome Algebro-Differentialgleichungen betrachtet werden, erleichtert die geometrische Interpretation und ist nicht wirklich eine Einschränkung, da jede zeitabhängige Algebro-Differentialgleichung

$f({\dot {x}},x,t)=0$ durch Einführen einer zusätzlichen Variable $x_{n+1}:=t$ und einer zusätzlichen Differentialgleichung ${\dot {x}}_{n+1}=1$ in eine autonome Algebro-Differentialgleichung umgeschrieben werden kann.

• In diesem Abschnitt wurde vorausgesetzt dass $M_{k+1}:=\mathrm {pr} _{1}(N\cap TM_{k})$ eine Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ ist. Falls dies nicht der Fall ist, ist für die betreffende Algebro-Differentialgleichung der geometrische Index nicht erklärt.
• Es existieren auch Algebro-Differentialgleichungen bei denen der geometrische Index unendlich ist.

Konsistente Anfangswerte

Gegeben sei wieder eine Algebro-Differentialgleichung

$f({\dot {x}},x,t)=0$

mit $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ hinreichend oft differenzierbar.

Ein Punkt $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt konsistenter Anfangswert zur Zeit $t_{0}\in \mathbb {R}$, falls es eine in einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ mit $t_{0}\in I$ definierte Lösung $x$ der Algebro-Differentialgleichung gibt, für die $x(t_{0})=x_{0}$ gilt.

Bei der Berechnung ist zu beachten, dass von konsistenten Anfangswerten außer den Zwangsbedingungen auch die verdeckten Zwangsbedingungen zu erfüllen sind (siehe Abschnitt Geometrischer Index).

Lineare differentiell-algebraische Gleichung

Sehr häufig treten differentiell-algebraische Gleichungen auf in der Form

$E{\dot {x}}+Cx=q\qquad ,\qquad x(t)\in \mathbb {R} ^{m}\quad ,\quad t\in I\subset \mathbb {R}$

mit stetigen Matrix-Koeffizienten

$E(t)\in L(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{k})\quad ,\quad C(t)\in L(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{k})\quad ,\quad t\in I$

und einer Funktion

$q:I\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$.

Eine echte differentiell-algebraische Gleichung liegt hier dann vor, wenn die Matrix-Funktion $E$ auf $I$ einen nichttrivialen Kern hat.

Lineare differentiell-algebraische Gleichung mit proper formuliertem Hauptterm

Eine andere Schreibweise für eine lineare differentiell-algebraische Gleichung ist die Form

$A(Bx)'+Cx=q\qquad ,\qquad x(t)\in \mathbb {R} ^{m}\quad ,\quad t\in I\subset \mathbb {R}$

mit stetigen Matrix-Koeffizienten

$A(t)\in L(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{k})\quad ,\quad B(t)\in L(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n})\quad ,\quad C(t)\in L(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{k})\quad ,\quad t\in I$

und einer Funktion

$q:I\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$.

In dieser Schreibweise wird der Tatsache Rechnung getragen, dass bei einer differentiell-algebraischen Gleichung nur ein Teil der Variablen $x$ differenziert wird. Tatsächlich wird hier nur die Komponente $Bx$ differenziert und nicht die gesamte Variable $x$. Als klassische Lösungen dieser Gleichung werden Funktionen aus dem Raum

$C_{B}^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):=\left\{x\in C(I,\mathbb {R} ^{m})\mid Bx\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{n})\right\}$

betrachtet, also dem Raum der stetigen Funktionen $x$, für die die Komponente $Bx$ stetig differenzierbar ist.

Die beiden Matrix-Funktionen $A$ und $B$ bilden den Hauptterm der Gleichung und dieser heißt proper formuliert, wenn zwei Eigenschaften erfüllt sind:

1. Es gilt

$\ker A(t)\oplus {\mbox{im}}\,B(t)=\mathbb {R} ^{n}\quad ,\quad t\in I$.

2. Es existiert eine stetig differenzierbare Projektor-Funktion

$R(t)\in L(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\quad ,\quad R^{2}(t)=R(t)\quad ,\quad t\in I$

mit der Eigenschaft

$\ker R(t)=\ker A(t)\quad ,\quad {\mbox{im}}\,R(t)={\mbox{im}}\,B(t)\quad ,\quad t\in I$.

Hier stellt die erste Bedingung sicher, dass sozusagen zwischen den beiden Matrix-Funktionen $A$ und $B$ nichts verloren geht. Im Kern der Matrix $A$ kann nichts aus dem Bild der Matrix $B$ verschwinden. Die Projektor-Funktion $R$ realisiert genau die durch die Matrix-Funktionen $A$ und $B$ gegebene Zerlegung des Raumes $\mathbb {R} ^{n}$ und ist für die Analyse der Gleichung hilfreich.

Ein einfacher Spezialfall für einen proper formulierten Hauptterm ist gegeben durch Matrix-Funktionen $A$ und $B$ mit der Eigenschaft

$\ker A(t)=\{0\}\quad ,\quad {\mbox{im}}\,B(t)=\mathbb {R} ^{n}\quad ,\quad t\in I$.

Für die Projektor-Funktion $R$ kann dann die Einheitsmatrix gewählt werden.

Literatur

• [1] E. Hairer and G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems. Second Revised Edition, Springer-Verlag, Berlin, 1996.
• [2] G. Reißig: Beiträge zur Theorie und Anwendungen impliziter Differentialgleichungen. Dissertation, Dresdner Universitätsverlag, 1998.