Extremwert

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum) einer Funktion ein Wert, in dessen Umgebung kein größerer Wert (= Maximum), bzw. kein kleinerer Wert (= Minimum) liegt. Wenn die betrachtete Umgebung beschränkt ist, spricht man von einem lokalen Extremum; kann sie jedoch auf den ganzen Definitionsbereich der Funktion ausgedehnt werden, ist das Extremum global. Bei differenzierbaren reellen Funktionen ($f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$) kann man Extremwerte über die 1. Ableitung bestimmen:

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Bedingung für einen Extremwert:

1. Ableitung ist Null: $f'(x)=0$

und

2. Ableitung ist nicht Null: $f''(x)\neq 0$

Zusätzlich kann man berechnen, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt:

• $f''(x)<0$ bedeutet Maximum
• $f''(x)>0$ bedeutet Minimum

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In der Praxis können Extremwert-Berechungen zur Berechnung von größt- oder kleinstmöglichen Vorgaben verwendet werden, z. B.:

• Wie muss eine viereckeige Fläche aussehen, die bei einem minimalen Umfang eine maximale Fläche hat? (Ergebnis ist ein Quadrat).