Fixpunktsatz von Banach

Der Fixpunktsatz von Banach lautet:

Eine Kontraktion $\phi :M\mapsto M$ eines vollständingen metrischen Raumes $M$ besitzt genau einen Fixpunkt, also einen Punkt $\xi \in M$ mit $\phi (\xi )=\xi$. Für jeden Startwert $x_{0}\in M$ konvergiert die Folge $(x_{n})$ mit $x_{n+1}:=\phi (x_{n})$ gegen $\xi$.

Der Satz ist nach dem Mathematiker Stefan Banach benannt.

Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarten, auf der die Umgebung, in der man sich befindet abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.