Division (Mathematik)

$20:4=5$

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Es wird ein Dividend durch einen Divisor geteilt, das Resultat nennt sich Quotient. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt und noch einmal in Schulbüchern für die 5. Klasse dargestellt, wird aber nach Einführung elektronischer Hilfsmittel von Lernenden kaum noch angewandt. Rechenzeichen für die Division sind : ÷ / als Geteiltzeichen.

Definition

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl $b$ (dem ersten Faktor) eine passende Zahl $x$ (den zweiten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt $a$ ergibt: Finde zu gegebenem $a$ und $b$ ein $x$ so, dass $b\cdot x=a$.

Beschränkt man sich auf natürliche oder auf ganze Zahlen, so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reellen sowie der komplexen Zahlen, gilt dagegen:

Für jede Zahl $a$ und für jede von null verschiedene Zahl $b$ gibt es genau eine Zahl $x$, die die Gleichung $b\cdot x=a$ erfüllt.

Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses $x$. Man schreibt

„$x=a:b\,$   (gelesen: „$x$ gleich $a$ geteilt durch $b$“ oder kurz „$x$ gleich $a$ durch $b$“ oder auch „$x$ gleich $a$ dividiert durch $b$“).“

Dabei heißen:

• Die Zahl $a$, die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch die zu Teilende (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.
• Die Zahl $b$, durch die geteilt wird, „Teiler“ oder „Divisor“ (lateinisch der, der teilt), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.
• Der Term $a:b$ heißt „Quotient“.
• Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:

• Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
• Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

Eigenschaften

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt $a:b=a\cdot {\tfrac {1}{b}}=a\cdot b^{-1}$.

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben, da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt $(a+b):c=a:c+b:c$ und $(a-b):c=a:c-b:c$.

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Bei mehreren aufeinanderfolgenden Divisionen in einer Zeile wird die Reihenfolge von links nach rechts abgearbeitet; die Division ist daher linksassoziativ:

$a:b:c=(a:b):c=a\cdot b^{-1}\cdot c^{-1}=a:(b\cdot c)$.

Division durch null

Beispiel

Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der die Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Ist 1/0 = ∞?

Graph der Funktion ${\tfrac {1}{x}}$.

Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Wenden wir diese Vorstellung des Verteilens auch auf positive Größen an, die kleiner als 1 werden können. Zum Beispiel auf das Verteilen von 1 Liter Wasser in quader- oder zylinderförmige Gefäße mit immer kleinerer Grundfläche, dann wird die Wassersäule desto höher, je kleiner die Grundfläche wird. Tatsächlich gibt es in der Mathematik die Methode des Grenzwertes, mit der (manchmal) ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man diese Methode auf zum Beispiel ${\tfrac {1}{x}}$ an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich. Allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert. Nähert man sich der Null aus Richtung der negativen Zahlen an, passiert das genaue Gegenteil und der Wert der Funktion strebt gegen $-\infty$. Somit strebt die Funktion an der Stelle $x=0$ sowohl gegen $+\infty$ als auch gegen $-\infty$, hat also keinen Grenzwert, auch keinen zweideutigen. Auch dies zeigt, dass es nicht sinnvoll möglich ist, ${\tfrac {1}{0}}$ zu definieren.

Mathematischer Beweis

Sei $R$ ein Ring, der nicht der Nullring ist, also mindestens 2 verschiedene Elemente hat. Gesucht sind Lösungen der Gleichung $0\cdot x=a$.

• 1. Fall: $a\neq 0$:

Für ein Ringelement $a\neq 0$ ist die Gleichung nicht lösbar, nicht in $R$ und auch nicht in einem Erweiterungsring von $R$.

Beweis

Angenommen, es gäbe zu einem $0\neq a\in R$ ein $x\in R$ derart dass, $0\cdot x=a$, dann wäre

$a=0\cdot x=(0-0)\cdot x=0\cdot x-0\cdot x=a-a=0$.

Ein Widerspruch!

• 2. Fall: $a=0$:

Obwohl die obige Gleichung im Fall $a=0$ jedes Ringelement $x\in R$ zur Lösung hat, würde die Festlegung auf ein spezielles unter ihnen zu Problemen führen. Bei der Setzung $x=0/0:=1$ bspw. wähle man ein Ringelement $c\neq 1$. (Das ist möglich, weil $R$ mindestens 2 Elemente hat.) Das Assoziativgesetz der Multiplikation ergäbe:

$1=0/0=(c\cdot 0)/0=c\cdot (0/0)=c\cdot 1=c$,

was der Wahl $c\neq 1$ widerspräche.

Wie im Abschnitt Ring (Algebra)#Folgerungen gezeigt, folgt aus den Ringaxiomen, maßgeblich dem Distributivgesetz:

• Das neutrale Element $0$ der Addition ist Annullator für jedes Ringelement $x\in R$.

Division durch null im Computer

Bei elektronischen Rechensystemen, welche eine Gleitkommazahlimplementation haben, die der IEEE 754-Norm folgt oder teilweise folgt (was fast überall der Fall ist), erzeugt eine Gleitkommadivision durch null das Ergebnis $\pm \infty$ (bzw. NaN im Falle von 0/0) .

Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen Rechnern einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet, kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.

Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Division mit Rest

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, es bleibt ein Rest übrig.

→ Hauptartikel: Division mit Rest

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: $a:b$ oder $a\div b$ oder $a/b$ oder ${\frac {a}{b}}$

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise ${\frac {a}{b}}$ heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Landesspezifisches

In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.

Siehe auch

• Rationale Funktion – Division von Funktionen
• Gruppentheorie
• Ringtheorie
• Schiefkörper
• Quasigruppe
• Divisionsalgebra
• Polynomdivision
• Vedische Mathematik – Vereinfachte Methode zum Dividieren

Literatur

• S. A. Stepanov: Division. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Weblinks

Commons: Division (mathematics) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Division – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen