Fraktale Dimension

Im Unterschied zu geometrischen Mengen wie Kugel, Würfel, Rechteck oder Strecke, ist für Fraktale eine ganzzahlige Dimension nicht mehr ausreichend. Welche Dimension sollte man einer Kurve zuordnen, die eine gesamte Fläche ausfüllt? Man kann aber einer beliebigen Punktmenge eine gebrochene (fraktale) Dimension zuordnen (eine reelle Zahl ist oder auch natürliche Zahl). Die Fraktale Dimension einer Menge sollte zwischen der topologischen Dimension dieser Menge und der einbettenden Dimension Hameldimension) des Raumes liegen. Normalerweise bezeichnet man Mengen als Fraktale, wenn ihre fraktale Dimension größer ist als ihre topologische Dimension.

Verschiedene Ansätze eine solche fraktale Dimension zu definieren sollen hier vorgestellt werden:

Boxcounting-Dimension

Bei der Boxcounting Methode überdeckt man die Menge mit einem Gitter der Gitterbreite $\epsilon$. Wenn $N(\epsilon )$ die Zahl der von der Menge belegten Boxen ist, so ist die Box Dimension

$D=\lim _{\epsilon \to 0}-{\frac {\log N}{\log \epsilon }}$.

Tatsächlich kann man andere Arten von Überdeckungen (Kreise bzw Kugeln, sich überschneidende Quadrate, etc) wählen und genauso D berechnen und das Ergebnis ist theoretisch dasselbe, in der numerischen Praxis (wenn man den Limes nicht ausrechnen kann) aber nicht unbedingt.

Yardstick-Methode

Diese Methode eignet sich nur für topologisch eindimensionale Mengen, also für Kurven. Man misst deren Länge durch Abzirkeln. Der Schnittpunkt eines Kreises (bzw Kugel in einbettender Dimension 3) mit der Kurve ist wiederum der neue Mittelpunkt des nächsten Kreises. So wird die Kurve mit Kreisen gleichen Radiuses überdeckt. Mit der Anzahl N und dem Radius $\epsilon$ dieser Kreise verfährt man weiter wie bei der Boxcounting-Methode. Tatsächlich ist die Yardstick-Methode theoretisch lediglich ein Spezialfall der Boxcounting-Methode.

Minkowski-Dimension

Umgibt man eine Menge F mit einer Minkowskiwurst $F_{\varepsilon }$ der Dicke $\varepsilon$ und misst deren n-dimensionales Volumen vol($F_{\varepsilon }$), so lässt sich damit eine zu der Box-Dimension äquivalente Dimension definieren:

$F_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-y|<\varepsilon ,y\in F\right\}$

$D=n-\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log {\mbox{vol}}(F_{\varepsilon })}{\log \varepsilon }}$

Ähnlichkeits-Dimension

Mengen, die aus N um den Faktor $\epsilon <1$ verkleinerten Versionen ihrer selbst bestehen, heißen selbstähnlich. Für diese ist die Ähnlichkeitsdimension $D=-{\frac {\log N}{\log \epsilon }}$ definiert. Man beachte, dass man hier keinen Limes braucht. Bsp: Ein Quadrat besteht aus vier Quadraten (N=4) der halben ($\epsilon =1/2$) Kantenlänge und hat damit D=2. Aber schon ein Kreis besteht nicht aus verkleinerten Kreisen und die Ähnlichkeitsdimension ist nicht definiert. Die Dimension von vielen bekannten Fraktalen lassen sich aber damit bestimmen. Aufgrund der fehlenden Limesbildung ist die Ähnlichkeitsdimension besonders einfach und ist deshalb oft die einzige für Laien verständliche fraktale Dimension.

Hausdorff-Dimension

Die Hausdorff-Dimension, oder Hausdorff-Besicovitch-Dimension, benannt nach Felix Hausdorff und Abram Samoilovitch Besicovitch, ist die maßtheoretische Definition der fraktalen Dimension. Das s-dimensionale Hausdorffmaß nimmt fast überall entweder den Wert 0 oder den Wert $\infty$ an. Die Stelle s=dim_H an der der Sprung von $\infty$ nach 0 stattfindet ist die Hausdorff-Dimension.

Natürliche Fraktale

Entfernt man sich von der mathematischen Idealisierung und betrachtet Mengen wie Küstenlinien, Mondkrater oder einfach nur digitalisierte Bilder von Fraktalen, so läßt sich wegen der endlichen Auflösung der $\lim _{\epsilon \to 0}$ nicht mehr ausführen. Man würde stets die Dimension 0 erhalten, weil man eine endliche Menge von Punkten betrachtet. Stattdessen macht man sich die Eigenschaft der Skaleninvarianz zunutze und bestimmt die Dimension durch Auftragung von $\log N$ gegen $\log \epsilon$ dem sogenannten Log-Log-Plot. Skaliert $N(\epsilon )\sim \epsilon ^{-D}$, dann ist die Steigung -D. Ist der Skalierungsbereich hinreichend groß (mehrere Dekaden), so spricht man von natürlichen Fraktalen.

Interessanterweise sind theoretisch äquivalente Definitionen der fraktalen Dimension in dieser numerischen Variante nicht mehr gleich. So erweist sich die Yardstick-Dimension meist als größer als die Box-Dimension.

Rényi-Dimensionen $D_{q}$

Der wesentliche Unterschied bei Rényi-Dimensionen ist, dass sie sich nicht auf eine Menge, sondern auf ein Maß (Dichte) beziehen. Man kann allerdings auch die Punktdichte einer Menge nehmen. Geht man von der Box-counting Methode aus, so zählt nicht nur ob eine Box besetzt ist oder nicht, sondern auch wieviel in der Box ist. Der normierte Inhalt $\mu (B_{i})$ der Box wird zur q-ten Potenz erhoben und über alle Boxen summiert. :$D_{q}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\log \sum _{i}\mu (B_{i})^{q}}{(1-q)\log \epsilon }}$ Für $q\to 1$ liefert die Regel von l'Hospital $D_{1}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\sum _{i}\mu (B_{i})\log \mu (B_{i})}{\log \epsilon }}$

Die Rényi-Dimension zu q=0 ist die normale fraktale Dimension. Die zu q=1 heißt auch Informationsdimension und die zu q=2 Korrelationsdimension. Maße, die unterschiedliche Rényi-Dimensionen haben, heißen auch Multifraktale.

Eigenschaften und Zusammenhang zwischen den Dimensionen

• Die fraktale Dimension einer Menge ist größer oder gleich der Dimension einer Teilmenge.
• Alle fraktalen Dimensionen sind, sofern definiert, überraschend häufig gleich groß. Ansonsten sind Ungleichungen bekannt, so ist beispielsweise die Hausdorff-Dimension stets kleiner oder gleich der Box-Counting-Dimension.
• Die fraktale Dimension ist stets größer oder gleich der topologischen Dimension.
• Die fraktale Dimension ist stets kleiner oder gleich der einbettenden Dimension.