Trägheitssatz von Sylvester

Der Trägheitssatz von Sylvester oder Sylvesterscher Trägheitssatz (nach James Joseph Sylvester) aus der linearen Algebra besagt, dass die Anzahl der negativen, positiven und Null-Eigenwerte einer wichtigen Klasse von Matrix nicht von der Basis des Vektorraum abhängen.

Genauer: Sei $A$ eine hermitesche (symmetrische) Sesquilinearform, dann ist ihre Signatur, also das Tripel (a, b, c) der Anzahlen der Eigenwerte, die positiv (a), negativ (b) und gleich Null (c) sind, invariant unter Kongruenztransformationen.

Insbesondere besagt der Satz auch, dass es eine Basis gibt, in der die Matrix diagonal in folgender Gestalt ist:

$A=diag({\begin{matrix}\underbrace {1,...,1} \\{}^{\rm {a-mal}}\\[-4.5ex]\end{matrix}},{\begin{matrix}\underbrace {-1,...,-1} \\{}^{\rm {b-mal}}\\[-4.5ex]\end{matrix}},{\begin{matrix}\underbrace {0,...,0} \\{}^{\rm {c-mal}}\\[-4.5ex]\end{matrix}})$

Anders ausgedrückt:

$A(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}y_{i}$

$A(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}'x_{i}'y_{i}'$

seien zwei Normalformen der symmetrischen Bilinearform $x^{T}Ay$. Dann sind die Anzahl der positiven Koeffizienten $\lambda _{i}$ bzw. $\lambda _{i}'$ und die Anzahlen der negativen Koeffizienten jeweils gleich.