Designmatrix

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Der Begriff Designmatrix (engl. design matrix) auch Datenmatrix kommt aus dem Teilgebiet Experimental Design, das sich mit dem statistisch optimalen Entwurf von Experimenten beschäftigt. In diesem Fall umfasst die Designmatrix alle Werte der unabhängigen Variablen. Da die Gesamtheit dieser Werte das experimentelle Design bestimmen, wird diese Matrix verwendet um ein bestimmtes Design zu charakterisieren.

Gleichzeitig kann man die Designmatrix aber auch als Basis für die Berechnung von Modellen benützen, da ja in der Designmatrix alle unabhängigen Variablen gespeichert sind. Auf das einfachste multiple lineare Modellierungsverfahren (die multiple lineare Regression) bezogen bedeutet dies, dass die Designmatrix die Matrix der Deskriptoren xj,i darstellt. Das für ein MLR-Modell aufzustellende Gleichungssystem lautet:

In der einfachen linearen Regression

Im Folgenden wird die einfache lineare Regression anhand eines Beispiels dargestellt.

Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wird in $n=6$ Geschäften ein Testverkauf durchgeführt und man erhält sechs Wertepaare mit dem jeweiligen Ladenpreis einer Flasche $x$ (in Euro) sowie der Zahl der jeweils verkauften Flaschen $y$:

Geschäft $i$	1	2	3	4	5	6
Flaschenpreis $x_{i}$	20	16	15	16	13	10
verkaufte Menge $y_{i}$	0	3	7	4	6	10

In Matrixform kann das Beispiel verallgemeinert wie folgt dargestellt werden:

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\1&x_{3}\\1&x_{4}\\1&x_{5}\\1&x_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{pmatrix}}$

In der multiplen linearen Regression

$\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}&\cdots &x_{1K}\\x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}&\cdots &x_{2K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{t1}&x_{t2}&\cdots &x_{tk}&\cdots &x_{tK}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{T1}&x_{T2}&\cdots &x_{Tk}&\cdots &x_{TK}\end{pmatrix}}$