Punktrechnung vor Strichrechnung

Die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung, kurz auch Punkt vor Strich genannt, ist eine Konvention in der Operatorrangfolge der Mathematik. Sie besagt, dass in einem mathematischen Ausdruck, sofern keine Klammern gesetzt sind, Multiplikationen und Divisionen immer Vorrang vor Additionen und Subtraktionen haben. Diese Konvention ermöglicht es in vielen Fällen, auf Klammern zu verzichten, was der Lesbarkeit der Ausdrücke zugutekommt.

Der Oberbegriff „Punktrechnung“ für Multiplikation und Division bezieht sich auf den einzelnen Punkt $\cdot$ als Multiplikations-Symbol sowie den Doppelpunkt $:$ als Divisions-Symbol. Doch auch wenn andere Symbole wie $\times$ beziehungsweise $/$ oder $\div$ verwendet werden, die typographisch keine reinen „Punktsymbole“ sind, gelten sie im Sinne der Regel als Punktrechnung.

Beispiele

Die Punkt-vor-Strich-Regel verbietet es, Ausdrücke, in denen Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion gemischt auftreten, einfach schrittweise von links nach rechts durchzurechnen. Bei den folgenden Beispielen sind jeweils das richtige Ergebnis (Regel wird beachtet) und das falsche Ergebnis (ohne Beachtung der Regel wird schrittweise von links durchgerechnet) aufgeführt:

Ausdruck	Rechnung	richtiges Ergebnis	falsches Ergebnis
$1+2\cdot 3$	Zuerst ist die Multiplikation $2\cdot 3$ zu rechnen, was insgesamt den Ausdruck $1+6$ ergibt.	$7$	$9$
$2\cdot 12+6:3-7$	Hier sind zuerst (in beliebiger Reihenfolge) die Multiplikation $2\cdot 12$ und die Division $6:3$ zu rechnen, was insgesamt den Ausdruck $24+2-7$ ergibt, der dann von links nach rechts gerechnet wird (nur noch Strichrechnung).	$19$	$3$
$36-(4+7)\cdot 3$	Zuerst werden immer Klammern gerechnet, hier also der Teilausdruck $(4+7)$. Das gibt insgesamt den Ausdruck $36-11\cdot 3$, bei dem als nächstes die Multiplikation $11\cdot 3$ zu rechnen ist und als letztes die sich daraus ergebende Subtraktion $36-33$. Alternativ kann man auch zuerst die Klammer ausmultiplizieren, was über $36-(12+21)$ ebenfalls zum richtigen Ergebnis führt (die Klammer um 12+21 muss gesetzt bleiben, weil diese Summe das Ergebnis der Multiplikation darstellt).	$3$	Mit Klammern: $75$ Ohne Klammern: $117$

Geschichte der Konvention

Die Mathematiker der Antike und des Mittelalters formulierten ihre Erkenntnisse als sprachlichen Text, wobei in der Regel keine Missverständnisse über die Gruppierungen auftreten. Das erste der obigen Beispiele könnte dann lauten: „Addiere zu 1 das Produkt von 2 und 3“.

Erst in der Neuzeit entwickelte sich die kürzere formelhafte Darstellung mathematischer Sachverhalte mit Zahlen, Bezeichnern und Operatoren. Dabei scheint die Regel „Punkt vor Strich“ von Anfang an vorausgesetzt worden zu sein. Bei René Descartes finden sich Schreibweisen wie $zz=az+bb$, die sowohl, wie auch heute noch üblich, den Multiplikationsoperator einfach weglassen (Juxtaposition) als auch davon ausgehen, dass die Multiplikation Vorrang vor der Addition hat.

Weitere Vorrangregeln

→ Hauptartikel: Operatorrangfolge

Potenzen haben Vorrang vor Punktrechnung:

$4\cdot 2^{3}=4\cdot (2^{3})=4\cdot 8=32$

Die Seiten eines Bruchstriches sowie der „Balken“ des Wurzelzeichens werden als Klammerung betrachtet:

$7\cdot {\frac {5+3}{6-2}}=7\cdot (5+3):(6-2)=7\cdot 8:4=14$

${\sqrt {4+5}}\cdot 7={\sqrt {9}}\cdot 7=3\cdot 7=21$

Technische Implementation

Computeralgebrasysteme beachten die Punkt-vor-Strich-Regel selbstverständlich, etwa das Open-Source-System Maxima:

(%i1) 1+2*3;
(%o1)                                  7
(%i2) 2*12+6/3-7;
(%o2)                                 19
(%i3) 36-(4+7)*3;
(%o3)                                  3

Bessere Taschenrechner beachten sie ebenfalls schon lange; der 1976 erschienene Schulrechner TI-30 hob sich unter anderem dadurch von Konkurrenzmodellen ab.

Andererseits gab und gibt es auch Rechner, die einfach nach jeder eingetippten Teiloperation sofort ein Zwischenergebnis ausrechnen, ohne in Betracht zu ziehen, dass eine höherrangige Operation folgen könnte. Das führt zu falschen Ergebnissen, etwa im Fall des zweiten Beispiels:

$2\cdot 12=24;24+6=30;30:3=10;10-7=3$

Manche Rechner bieten die Möglichkeit, zwischen den Rechenmodi „algebraisch“ (Operatorrangfolge wird beachtet) und „sequenziell“ (Operationen werden in der Reihenfolge der Eingabe ausgeführt) umzuschalten.