Polstelle
Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form
Da beide Funktionen der Wert NULL liefern können, entstehen drei Sonderfälle.
Eine Nullstelle, wenn gilt:
UND
Eine stetig hebbare Definitionslücke liegt vor, wenn:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle u(x) = v(x) = 0}
Eine Polstelle oder auch Unendlichkeitsstelle liegt dann vor, wenn:
und
Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an dieser Stelle also einen uneigentlichen Grenzwert, da dieser gegen (+/-) UNENDLICH strebt. Der Graph besitzt an dieser Stelle eine vertikale Asymptote
Jenachdem, wie sich der Graph nach dem Überspringen der Polstelle verhält, unterscheidet man zwischen Polen ungerader Ordnung und Polen gerader Ordnung.
Bei einem Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus dem positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. Bei der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der Polstelle macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der beiden Ergebnisse deutlich.
Dieses Fänomen liegt vor bei Funktionen mit ungerader Vielfachheit, wenn also der Exponent einer Funktion ungerade ist.
Ein Pol gerader Ordnung liegt vor, wenn der Graph sowohl links als auch rechts der Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen erscheint. Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein identisches Vorzeichen.
Dieser Fall tritt bei gerader Vielfachheit auf, also Funktionen mit geradzahligem Exponent.
Die Zahl des Exponenten der Funktion f(x) gibt außerdem die Ordnung des Pols an.
Beispiele:
- Die Funktion hat einen einfachen ungeraden Pol bei .
- Die Funktion hat einen dreifachen ungeraden Pol bei .
- Die Funktion hat einfache ungerade Pole bei allen ganzzahligen Vielfachen von .
