Wirkung (Physik)

Physikalische Größe
Name	Wirkung
Formelzeichen

Die Wirkung $S$ ist eine physikalische Größe mit der Dimension Energie mal Zeit oder Länge mal Impuls. Sie hat also die gleiche Dimension wie der Drehimpuls. Wirkung bezeichnet in der theoretischen Physik nicht wie im allgemeinen Sprachgebrauch die Auswirkung einer Ursache, sondern ein Funktional, das die physikalisch durchlaufenen Bahnen in der Menge der denkbaren Bahnen auszeichnet. Die Bewegungsgleichungen der physikalisch durchlaufenen Bahnen besagen, dass bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt die Wirkung der Bahnen unabhängig von zwischenzeitlichen Bahnänderungen ist. Diese Bedingung heißt auch Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung.

Wirkung eines Punktteilchens

In der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung $S$ jeder zweifach differenzierbaren Bahn $\Gamma :t\mapsto x(t)\,$ , die ein Punktteilchen mit der Zeit $t$ von einem Anfangspunkt ${\underline {x}}=x(t_{1})$ zu einem Endpunkt ${\overline {x}}=x(t_{2})$ durchläuft, den Wert des Integrals

S[\Gamma ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\!\left(t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)\right)\,\mathrm {d} t

zu. Dabei ist in Newtons Mechanik die Lagrangefunktion $L(t,x,v)$ eines Teilchens der Masse $m$ , das sich im Potential $V(t,x)$ bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie als Funktion der Zeit $t$ , des Ortes $x$ und der Geschwindigkeit $v$ ,

L(t,x,v)={\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}-V(t,x)\ .

Im Integranden der Wirkung $S[\Gamma ]$ wird für $x$ der Ort $x(t)$ der Bahn zur Zeit $t$ und für $v$ seine Zeitableitung ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)$ eingesetzt. Das Integral dieser verketteten Funktion der Zeit ist die Wirkung der Bahn $\Gamma :t\mapsto x(t)$ .

Verglichen mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen, die anfänglich durch ${\underline {x}}$ und schließlich durch ${\overline {x}}$ laufen, ist die Wirkung der physikalischen Bahn stationär, denn ihre Bewegungsgleichung

m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\partial _{x}V(t,x)=0

ist die Euler-Lagrange-Gleichung der Wirkung $S$ .

Beispiel: harmonischer Oszillator

Sei beispielsweise $L$ die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszillators mit Masse $m$ und Federkonstanten $\kappa =m\omega ^{2}$

L(t,x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}

Seien weiterhin $t_{1}=0$ und ${\underline {x}}=0$ sowie $t_{2}={\frac {\pi }{2\omega }}$ und ${\overline {x}}=1$ . Die physikalische Bahn, die diese Anfangs- und Endwerte durchläuft, ist

\Gamma _{\text{physikalisch}}:t\mapsto x(t)=\sin \omega t

.

Ihre Wirkung ist das Integral

S[\Gamma _{\text{physikalisch}}]=\int _{0}^{\frac {\pi }{2\omega }}\mathrm {d} t\,{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\bigl (}\cos ^{2}(\omega t)-\sin ^{2}(\omega t){\bigr )}

.

Das Integral kann leicht ausgewertet werden, aber das ist für unsere Betrachtungen unerheblich.

Auf jeder anderen Bahn, die zwischenzeitlich um $\delta (t)$ ein wenig von $\Gamma _{\text{physikalisch}}$ abweicht, $\delta (t_{1})=\delta (t_{2})=0$ , unterscheidet sich die Wirkung in erster Ordnung in $\delta$ um

\delta S=S[\Gamma _{\text{physikalisch}}+\delta ]-S[\Gamma _{\text{physikalisch}}]=\int _{0}^{\frac {\pi }{2\omega }}\mathrm {d} t\,m\omega {\bigl (}\cos(\omega t){\dot {\delta }}(t)-\omega \sin(\omega t)\delta (t){\bigr )}\ .

Partielle Integration wälzt die Ableitung von ${\dot {\delta }}$ ohne Randterme (weil dort $\delta$ verschwindet) mit einem Minuszeichen auf $\cos \omega t$ ab und ergibt für alle zwischenzeitlichen Änderungen $\delta (t)$ das Negative des zweiten Terms

\delta S=\int _{0}^{\frac {\pi }{2\omega }}\mathrm {d} t\,m\omega ^{2}{\bigl (}\sin(\omega t)\delta (t)-\sin(\omega t)\delta (t){\bigr )}=0\ .

Es ist also die Wirkung der physikalischen Bahn stationär unter allen zwischenzeitlichen Änderungen.

Bedeutung in der Theoretischen Physik

Die Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist auch grundlegend für

die relativistische Mechanik
die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik
die Einsteingleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie
das Standardmodell der elementaren Wechselwirkungen.

Literatur

L. Landau / J. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik (Band 1): Mechanik, Verlag Harri Deutsch, Nachdruck der 14., korrigierten Aufl. 1997 (2007), ISBN 978-3-8171-1326-2
Florian Scheck: Theoretische Physik 1: Mechanik, Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71377-7

Weblinks

Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

(PDF; 1,9 MB) Kapitel 13