Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion beschreibt im Frequenzbereich das Verhalten eines linearen schwingfähigen Systems. Man nennt sie auch RAO (engl: Response Amplification Operator).

Ein lineares schwingfähiges System transformiert ein Eingangssignal in ein oder mehrere Ausgangssignale. Beispiele:

• Unebenheiten der Straßenoberfläche -> Schwingungen eines Autos,
• Eingangsbuchse -> Ausgangsbuchse eines Verstärkers,
• Seegang -> Schwingungen eines Schiffes oder einer Offshore-Plattform,
• elektrisches Signal -> Schwingungen der Membran eines Lautsprechers.

Eingangssignal ${x(t)\,}$ und Ausgangssignal ${y(t)\,}$ bestehen aus einer Überlagerung von je einer Sinusschwingung für jede von beliebig vielen Frequenzen. Die Übertragungsfunktion ist komplex:

$H=|H|e^{i\varphi }$

und beschreibt in Abhängigkeit von der Frequenz (oder zweckmäßiger: Kreisfrequenz ${\omega \,}$), um welchen Faktor $|H|$ das System die Amplitude verändert und um welchen Phasenwinkel $\varphi$ es die Phase verschiebt.

Wenn Ein- und Ausgangssignal im Frequenzbereich vorliegen, d.h. in Form ihrer komplexen Fourierspektren oder Fourierkoeffizienten

$x(t)=\int _{(\omega )}X(\omega )\,e^{i\omega t}\,d\omega \approx \sum _{(j)}X_{j}e^{i\omega _{j}t}$

$y(t)=\int _{(\omega )}Y(\omega )\,e^{i\omega t}\,d\omega \approx \sum _{(j)}Y_{j}e^{i\omega _{j}t}$

dann definiert man als Übertragungsfunktion den Quotienten, also das Verhältnis von Ausgangs-Fourierspektrum zu Eingangs-Fourierspektrum:

$H(\omega )={\frac {Y(\omega )}{X(\omega )}}\quad {\mbox{bzw.}}\quad H_{j}=H(\omega _{j})={\frac {Y_{j}}{X_{j}}}$

In manchen Literaturquellen ist die Übertragungsfunktion allderdings konjugiert komplex hierzu definiert, d.h. es besteht keine Einigkeit darüber, ob ein positiver Phasenwinkel "voreilend" oder "nacheilend" bedeutet.

Eine typische Anwendung der Übertragungsfunktion besteht darin, dass man sie im Rahmen von Modellversuchen misst und danach die Möglichkeit hat, das System numerisch zu simulieren.

Während es sich hier um eine Betrachtung im Frequenzbereich handelt, ist mit gewissen Einschränkungen etwas ähnliches auch im Zeitbereich möglich, und zwar genau dann, wenn das Eingangssignal die Ursache und das Ausgangssignal die Wirkung ist. Die entsprechende Funktion im Zeitbereich nennt man Impulsantwortfunktion, diese ist (abgesehen von einem Faktor) die inverse Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion.

Eine wichtige Rolle spielt die Übertragungsfunktion in der Signaltheorie, der Regelungstechnik sowie in Schiffbau und Offshoretechnik.

In den beiden letztgenannten Anwendungen hängen die sechs Übertragungsfunktionen für die sechs Freiheitsgrade (surge, sway, heave, roll, pitch, yaw) zusätzlich von der Ausbreitungsrichtung des Seegangs sowie von der Geschwindigkeit des Schiffes ab.

siehe auch: Frequenzgang