Portmanteau-Test

Mit Hilfe eines Portmanteau-Tests wird für mehrere Autokorrelationskoeffizienten die Signifikanz zu Null getestet. Dies ist vor allem bei der Prüfung der Autokorrelationsfreiheit der Residuen im Rahmen der Diagnosephase einer Zeitreihenanalyse wichtig. Die ursprüngliche Version des Tests stammt von Box/Pierce (1970). Die Teststatistik sieht wie folgt aus:

$Q_{BP}=T\sum _{l=1}^{K}r_{l}^{2}({\hat {Z_{t}}})$

Die Nullhypothes für diesen Test lautet:

$H_{0}:\rho ({\hat {Z_{t}}})=...=\rho _{K}({\hat {Z_{t}}})=0$

Die Prüfgröße ist $\chi ^{2}$-verteilt mit v = K - p - q Freiheitsgraden. Das geschätzte ARIMA(p;d;q)-Modell kann verworfen werden, falls

$Q_{BP}>\chi _{v;1-\alpha }^{2}.$

Die Auswahl eines geeigneten Wertes für K (Anzahl der Koeffizienten, die gemeinsam getestet werden sollen) ist nicht unproblematisch. Ist K zu niedrig, greift die Asymptotik der $\chi ^{2}$-Approximation nicht. Auch ein zu großes K hat nicht gewünschte Effekte. Für die Bestimmung von K kann folgende Faustregel verwendet werden:

$K\approx {2}{\sqrt {T}}.$

Das der Box-Pierce-Test nur bei langen Zeitreihen mit mehr als 100 Zeitreihenwerten zufriedenstellen arbeitet, wird von Ljung/Box (1978) eine abgewandelte Teststatistik herangezogen. Dabei wird T durch T(T+2)/(T-K). Als Teststatistik ergibt sich:

$Q_{LB}=T(T+2)\sum _{l=1}^{K}{\frac {1}{T-l}}r_{l}^{2}({\hat {Z_{t}}}).$

Portmanteau-Tests sind reine Signifikanztests. Sie testen nicht gegen eine klar formulierte Gegenhypthese.

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Literatur:

Box, G.E.P; Pierce, D.A.: Distribution of the Autocorrelations in Autoregressive Moving Average Time Series Models, Journal of American Statistic Assosiation, Nr. 65, 1509-1526, 1970.

Ljung, G.M.; Box, G.E.P.: On a Messure of Lack of Fit in Time Series Models; Biometrika 65, Nr. 2, 297-303, 1978.