Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle.
Schreibweise:
Tangens:
f
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle f(x)=\tan x\,}
Kotangens:
f
(
x
)
=
cot
x
{\displaystyle f(x)=\cot x\,}
Definition
Definition am Einheitskreis Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:
D
T
¯
=
tan
b
E
K
¯
=
cot
b
{\displaystyle {\overline {DT}}=\tan b\qquad \qquad {\overline {EK}}=\cot b}
Ein rechtwinkliges Dreieck Ein rechtwinkliges Dreieck In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels
α
{\displaystyle \alpha }
kathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete :
tan
α
=
l
G
K
l
A
K
=
a
b
cot
α
=
l
A
K
l
G
K
=
b
a
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {l_{\rm {GK}}}{l_{\rm {AK}}}}={\frac {a}{b}}\qquad \qquad \cot \alpha ={\frac {l_{\rm {AK}}}{l_{\rm {GK}}}}={\frac {b}{a}}}
Daraus folgt unmittelbar:
tan
α
=
1
cot
α
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {1}{\cot \alpha }}}
sowie
tan
α
=
cot
β
=
cot
(
90
∘
−
α
)
.
{\displaystyle \tan \alpha =\cot \beta =\cot(90^{\circ }-\alpha ).}
Eigenschaften
Verlauf
Definitionsbereich
Tangens:
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
(
1
2
+
n
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \,;\,x\neq \left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi ;n\in \mathbb {Z} }
Kotangens:
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \,;\,x\neq n\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Wertebereich
−
∞
<
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)\,<+\infty }
Periodenlänge
π
{\displaystyle \pi }
f
(
x
+
π
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(x+\pi )=f(x)\,}
Monotonie
Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.
Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.
Symmetrien
Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
cot
(
−
x
)
=
−
cot
x
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan x\qquad \qquad \cot(-x)=-\cot x}
Nullstellen
Tangens:
x
=
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z} }
Kotangens:
x
=
(
1
2
+
n
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Polstellen
Tangens:
x
=
(
1
2
+
n
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z} }
Kotangens:
x
=
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z} }
Wendepunkte
Tangens:
x
=
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z} }
Kotangens:
x
=
(
1
2
+
n
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z} }
Weder die Tangensfunktion noch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen oder Extrema
Wichtige Funktionswerte
Tangens
Kotangens
Ausdruck
Wert
tan
0
∘
{\displaystyle \tan 0^{\circ }}
cot
90
∘
{\displaystyle \cot 90^{\circ }}
0
{\displaystyle 0\,}
0
tan
30
∘
{\displaystyle \tan 30^{\circ }}
cot
60
∘
{\displaystyle \cot 60^{\circ }}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
≈ 0,577
tan
45
∘
{\displaystyle \tan 45^{\circ }}
cot
45
∘
{\displaystyle \cot 45^{\circ }}
1
{\displaystyle 1\,}
1
tan
60
∘
{\displaystyle \tan 60^{\circ }}
cot
30
∘
{\displaystyle \cot 30^{\circ }}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
≈ 1,732
tan
90
∘
{\displaystyle \tan 90^{\circ }}
cot
0
∘
{\displaystyle \cot 0^{\circ }}
∞
{\displaystyle \infty \,}
∞
{\displaystyle \infty \,}
Umkehrfunktion
Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion
Tangens
tan
:
(
−
π
/
2
,
π
/
2
)
→
R
{\displaystyle \tan :\,(-\pi /2,\,\pi /2)\to \mathbb {R} }
Ihre Umkehrfunktion
arctan
:
R
→
(
−
π
/
2
,
π
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {arctan} :\mathbb {R} \to \,(-\pi /2,\,\pi /2)}
heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.
Kotangens
cot
:
(
0
,
π
)
→
R
{\displaystyle \cot :\,(0,\,\pi )\to \mathbb {R} }
Ihre Umkehrfunktion
arccot
:
R
→
(
0
,
π
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} :\mathbb {R} \to \,(0,\,\pi )}
heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.
Reihenentwicklung
Tangens:
Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt
x
=
0
{\displaystyle x=0}
MacLaurinsche Reihe ) lautet
tan
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
⋅
(
2
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
⋅
B
n
⋅
x
2
n
−
1
{\displaystyle \tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\cdot \left(2^{2n}-1\right)}{(2n)!}}\cdot B_{n}\cdot x^{2n-1}}
Dabei sind mit
B
n
{\displaystyle B_{n}}
Bernoulli-Zahlen bezeichnet.
Kotangens:
Der Anfang der Laurent-Reihe lautet:
cot
x
=
1
x
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
−
1
4725
x
7
−
…
{\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\dots }
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle 0<|x|<\pi }
Die so genannte Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet
π
cot
π
x
=
1
x
+
∑
k
=
1
∞
(
1
x
+
k
+
1
x
−
k
)
=
1
x
+
∑
k
=
1
∞
2
x
x
2
−
k
2
{\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+k}}+{\frac {1}{x-k}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}-k^{2}}}}
x
∈
C
∖
Z
{\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }
Ableitung
Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:
Tangens
d
d
x
tan
x
=
1
+
tan
2
x
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x}
Kotangens
d
d
x
cot
x
=
−
1
−
cot
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
csc
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-1-\cot ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x}
Integral
Tangens
∫
tan
(
a
x
)
d
x
=
−
ln
|
cos
(
a
x
)
|
a
{\displaystyle \int \tan(ax)\ \mathrm {d} x=-{\frac {\ln |\cos(ax)|}{a}}}
Kotangens
∫
cot
(
a
x
)
d
x
=
ln
|
sin
(
a
x
)
|
a
{\displaystyle \int \cot(ax)\ \mathrm {d} x={\frac {\ln |\sin(ax)|}{a}}}
Beziehungen zu anderen Funktionen
Tangens
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\sin x \over \cos x}}
Kotangens
cot
x
=
cos
x
sin
x
{\displaystyle \cot x={\cos x \over \sin x}}
Additionstheoreme
Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten
tan
(
x
±
y
)
=
tan
x
±
tan
y
1
∓
tan
x
tan
y
cot
(
x
±
y
)
=
cot
x
cot
y
∓
1
cot
y
±
cot
x
{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}\qquad \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}}
Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt
tan
x
+
tan
y
+
tan
z
=
tan
x
tan
y
tan
z
{\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z\,}
cot
x
cot
y
+
cot
y
cot
z
+
cot
z
cot
x
=
1
{\displaystyle \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1\,}
wenn
x
+
y
+
z
{\displaystyle x+y+z}
π
{\displaystyle \pi }
Rationale Parametrisierung
Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist
t
=
tan
α
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}}}
sin
α
=
2
t
1
+
t
2
,
cos
α
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
tan
α
=
2
t
1
−
t
2
.
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}.}
Insbesondere ist
R
→
R
2
,
t
↦
(
1
−
t
2
1
+
t
2
,
2
t
1
+
t
2
)
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}
eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
t
=
∞
{\displaystyle t=\infty }
t
{\displaystyle t}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
(
1
,
2
t
)
{\displaystyle (1,2t)}
Anwendung: Tangens und Steigungswinkel
Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen : Jede lineare Funktion
f
:
R
→
R
,
x
↦
m
x
+
c
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto mx+c}
Graphen eine Gerade. Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse entspricht genau der Steigung
m
{\displaystyle m}
m
=
tan
α
{\displaystyle m=\tan \,\alpha }
Bei negativer Steigung (
m
<
0
{\displaystyle m<0}
m
=
−
tan
α
{\displaystyle m=-\tan \alpha }
Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist der Tangens des Steigungswinkels.
Differentialgleichung
Der Tangens ist eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung
w
′
=
1
+
w
2
{\displaystyle w'=1+w^{2}}
Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man
w
′
=
1
+
w
2
=
(
w
+
i
)
(
w
−
i
)
{\displaystyle w'=1+w^{2}=(w+\mathrm {i} )(w-\mathrm {i} )}
mit der imaginären Einheit
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
Picardschen Ausnahmewerte
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
−
i
{\displaystyle -\mathrm {i} }
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
−
i
{\displaystyle -\mathrm {i} }
Siehe auch
Weblinks
Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
