Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)

In der Statistik bezeichnet man für eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf den reellen Zahlen das p-Quantil (oder auch q-tes Perzentil oder Fraktil) als jene reelle Zahl, für die die (kumulierte) Verteilungsfunktion den Wert von p (q%) annimmt. Die Beobachtungen bzw. die Grundgesamtheit sind dann gerade mit Wahrscheinlichkeit q kleiner gleich dem p-Quantil.

Das Quantil ist eindeutig definiert, wenn die Verteilungsfunktion (Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte) streng monoton steigend ist.

Besondere Quantile

• Der Median entspricht dem 0,5-Quantil oder 50%-Quantil.
• Quartile

Beispiele

Das 97,5%-Quantil der Standardnormalverteilung ist der Wert $z\approx 1,96$, d.h. für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X gilt

$P(X\leq 1,96)\approx 0,975$.

Wird die Körpergröße eines Kindes als Perzentil ausgedrückt, bedeutet dies, dass die Körpergröße in Bezug auf die Körpergrößen der Altersgenossen angegeben wird. Eine Körpergröße auf dem 20. Perzentil bedeutet beispielsweise, dass 20% der Kinder gleichen Alters und gleichen Geschlechts kleiner als das betreffende Kind sind.

Einige Quantile der Standardnormalverteilung

p in %	50	90	95	97,5	99	99,5	10	5	2,5	1	0,5
p-Quantil	0,0	1,2816	1,6449	1,9600	2,3263	2,5758	-1,2816	-1,6449	-1,9600	-2,3263	-2,5758