Orthodrome

Datei:Orthodrome.png

Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Die Orthodrome (griech. "rechter Weg") ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen. Damit ist die Orthodrome mit der so genannten Luftlinie identisch.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Dafür ist die Stecke der Loxodrome allerdings auch etwas länger als die der Orthodrome.

Datei:Loxodrome.jpg

Gegenüberstellung von Loxodrome und Orthodrome

Rechenformeln

Verwendete Variablen	Bedeutung
$\,\lambda$	Geografische Länge
$\,\delta$	Geografische Breite
$\,A(\lambda _{A},\delta _{A})$	Anfangspunkt
$\,B(\lambda _{B},\delta _{B})$	Endpunkt
$\,P_{N}(\lambda _{N},\delta _{N})$	Nördlichster Punkt der Orthodrome
$\,\alpha$	Kurswinkel
$\,\zeta$	Zentriwinkel

Nördlichster Punkt

In einer Gnomonische Projektion werden Orthodrome immer als gerade Strecke abgebildet

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

$\,\delta _{N}=\arccos {\Big (}\sin(|\alpha _{A}|)\cdot \cos(\delta _{A}){\Big )}$

$\lambda _{N}=\operatorname {sgn} (\alpha _{A})\cdot \left|\arccos \left({\frac {\tan(\delta _{A})}{\tan(\delta _{N})}}\right)\right|$

Länge

Als Winkel lässt sich die Länge folgendermaßen angeben: $\,\zeta =\arccos {\Big (}\sin(\delta _{A})\sin(\delta _{B})+\cos(\delta _{A})\cos(\delta _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}){\Big )}$

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss $\zeta$ noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für $\zeta$ im Bogenmaß; falls $\zeta$ in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit $2\pi /360$ multipliziert werden).

Kurswinkel

$\alpha _{A}=\arctan \left({\frac {\cos(\delta _{A})\cos(\delta _{B})\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}{\sin(\delta _{B})-\sin(\delta _{A})\cos(l)}}\right)$

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

• Berlin
  • 52° 31' 0" N.B. = 52,52°
  • 13° 24' 0" Ö.L. = 13,40°
• Tokio
  • 35° 42' 0" N.B. = 35,70°
  • 139° 46' 0" Ö.L. = 139,77°

Winkelberechnung

$\,\delta _{A}=52{,}52^{\circ }$ $\,\lambda _{A}=13{,}40^{\circ }$

$\,\delta _{B}=35{,}70^{\circ }$ $\,\lambda _{B}=139{,}77^{\circ }$

$\,\zeta =\arccos {\Big (}\sin(\delta _{A})\sin(\delta _{B})+\cos(\delta _{A})\cos(\delta _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}){\Big )}$

$\,\zeta =\arccos {\Big (}\sin(52{,}517^{\circ })\sin(35{,}70^{\circ })+\cos(52{,}52^{\circ })\cos(35{,}70^{\circ })\cos(139{,}767^{\circ }-13,40^{\circ }){\Big )}$

$\,\zeta =\arccos(0{,}79353\cdot 0{,}58354+0{,}60853\cdot 0{,}81208\cdot (-0{,}59296))$

$\,\zeta =\arccos(0{,}1700)$

$\,\zeta =80{,}2096^{\circ }$ bzw. $\,\zeta =1{,}400$ (Bogenmaß)

Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit U = 40.000 km bzw. 6.370 km Radius ausgegangen.

$\,L={\frac {\zeta }{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ km$

$\,L={\frac {80{,}212^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ km$

$\,L=8912\ km$

Oder für $\,\zeta$ im Bogenmaß:

$\,L=\zeta \cdot 6370\ km$

$\,L=8918\ km$

Das ist aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur eine Näherung. Die tatsächliche Entfernung zwischen Berlin und Tokyo kann bei Verwendung des WGS84 Referenzellipsoids zu 8941,2 km berechnet werden.

siehe auch: Geodätische Linie, Abweitung