Integralrechnung

Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis in der Mathematik. Sie ist aus dem Problem der Flächenberechnung unter Kurven entstanden und ist die Umkehrung zu Differentialrechnung.

Bestimmtes Integral

Datei:Area under curve.png

Die Integralrechnung entstand aus dem Problem, die Fläche zwischen dem Graphen einer reellwertigen Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall von a bis b zu berechnen. Falls die Fläche sinnvoll bestimmt werden kann, nennt man die Funktion im Intervall integrierbar. Die reelle Zahl A, die die Größe der Fläche angibt, heißt dann das bestimmte Integral von f(x) über dem Intervall:

A=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

Der Flächeinhalt ist "orientiert", d.h. falls der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ. Das Integral wechselt ebenfalls das Vorzeichen, wenn die untere und obere Integrationsgrenze vertauscht werden.

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen "Treppenstufen" angenähert. Diese nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichnete "Riemann-Summe" konvergiert gegen das bestimmte Integral, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt. Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.

Uneigentliches Integral

Ein Sonderfall des bestimmten Integrals ist das uneigentliche Integral, bei dem die Fläche nur an einer Seite begrenzt ist. Gesucht ist also:

A=\int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x

oder

A=\int _{-\infty }^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

Obwohl die eingeschlossene Fläche durch keine endliche Linie begrenzt ist, kann der Flächeninhalt bei geeigneten Funktionen durchaus endlich sein. Beispiele hierfür sind die Gaußsche Glockenkurve und die Funktion 1/x².

Für manche Funktionen (wie z.B. die erwähnte Gaußkurve) ist auch das beidseitig uneigentliche Integral definiert:

A=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x

Andere uneigentliche Integrale entstehen, wenn die Funktion im Integrationsbereich divergiert.

Unbestimmtes Integral

Es stellt sich heraus, das die Integralrechnung sehr eng mit der Differentialrechnung zusammenhängt.

Eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist jede Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Da beim Differenzieren additive Konstanten wegfallen, gilt: Ist F(x) ein Stammfunktion von f(x), so ist es auch F(x) + C mit beliebigem C aus den reellen Zahlen. Außer F(x) + C gibt es keine weiteren Stammfunktionen zu f(x), d.h. zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine additive Konstante.

Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist nun die Menge alle Stammfunktionen von f(x):

\int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+C

Zusammenhang - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Jede Funktion A(x), die den Flächeninhalt unter der Kurve von einer festen Untergrenze a bis zur variablen Obergrenze x angibt, also

A(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t,

entsprichte einer bestimmten Stammfunktion von f(x).

Daraus ergibt sich, dass man jedes bestimmte Integral als eine Differenz zweier Stammfunktionen der zu integrierenden Funktion berechnen kann, da die additiven Konstanten bei der Subtraktion wegfallen (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung):

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)

Anschaulich kann man das so verstehen:

Das Integral liefert die Fläche unter der Funktionskurve. Die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze sagt also, wie stark sich die Fläche ändert, wenn die rechte Integrationsgrenze verschoben wird, relativ zur Größe der Verschiebung dieser Grenze.

Wenn man nun aber die obere Grenze um einen sehr kleinen Betrag verschiebt, dann ändert sich die Fläche um ein kleines Rechteck, dessen Breite die Verschiebung der Grenze, und dessen Höhe der Funktionswert an dieser Stelle ist. Dessen Flächeninhalt ist natürlich das Produkt der beiden Längen, und Division durch die Verschiebung (= die Breite des Rechtecks) ergibt dann gerade wieder den Funktionswert. Da also die Ableitung der Integralfunktion wieder die integrierte Funktion ergibt, ist die Integralfunktion per Definitionem eine Stammfunktion derselben.

Eigenschaften des Integrals

In der formalen Sprache der Mathematik ist das Integral ein lineares Funktional über dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen. Die Linearität besagt, dass das Integral der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x) genau der Summe der Integrale der Funktionen ist: