Regula falsi

Das Regula-Falsi-Verfahren (lat. "Regel des falschen Ansatzes") ist eine Methode zum numerischen Berechnen von Nullstellen. Es kombiniert Methoden vom Sekantenverfahren und der Bisektion.

Das Verfahren

Visualisierung der Regula falsi

Das Regula-falsi-Verfahren startet mit zwei Punkten (in der Nähe der Nullstelle) a₀ und b₀ deren Funktionsauswertungen f(a₀), f(b₀) unterschiedliches Vorzeichen haben. In dem Intervall [a,b] sollte sich (für stetiges f) also eine Nullstelle befinden. Nun verkleinert man in mehreren Iterationschritten das Intervall und bekommt so eine immer bessere Näherung für die Nullstelle.

Iterationsvorschrift

In Schritt k berechnet man

$c_{k}=a_{k-1}-{\frac {a_{k-1}-b_{k-1}}{f(a_{k-1})-f(b_{k-1})}}f(a_{k-1})$

Nun wählt man a_k, b_k folgendermaßen:

• $a_{k}=c_{k},\ b_{k}=b_{k-1}$ falls $f(a_{k-1})\!$ und $f(c_{k})\!$ gleiches Vorzeichen haben
• $a_{k}=a_{k-1},\ b_{k}=c_{k}$ falls $f(b_{k-1})\!$ und $f(c_{k})\!$ gleiches Vorzeichen haben

hallo ich bins!

Bemerkungen

• Die Berechnung des c_k entspricht dem Anwenden des Sekantenverfahren mit einer Iteration im (k-1)ten Intervall; im Gegensatz zum Sekantenverfahren befindet sich in diesem Intervall aber stets eine Nullstelle.
• Geometrisch kann man c_k als die Nullstelle der Sekante durch (a_k-1, f(a_k-1)) und (b_k-1, f(b_k-1)) deuten.
• c_k liegt natürlich immer im Intervall [a_k-1, b_k-1]