Majorisierungskriterium

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Das Majorisationskriterium ist in der Quantenmechanik ein Merkmal, das der Unterscheidung verschränkter von separablen Zuständen anhand ihrer Dichtematrix dient. Es ist das schwächste der drei Operatoren-Separationskriterien in der Quantenmechanik, zu denen auch das Reduzierungskriterium und das Peres-Horodecki-Kriterium zählen.

Das Kriterium wurde im Jahr 1999 von Michael Nielsen und 2001 zusammen mit Julia Kempe veröffentlicht, und wird daher auch Nielsen's majorization theorem oder Nielsen-Kempe-majorization criterion genannt. Anschaulich gesprochen besagt das Majorisationskriterium, dass separable Zustände global eine größere Unordnung zeigen als lokal.

Definition

Wenn ein betrachteter quantenmechanische Zustand, der durch die Dichtematrix $\rho _{AB}$ gegeben ist, seperabel ist, ist das Majorisationskritrium erfüllt.

Das Majorisationskritrium besagt, dass die Eigenwerte $\lambda$ der Dichtematrix durch die Eigenwerte ihrer partiellen Spur $\rho _{A}$ und $\rho _{B}$ bezüglich der Hilberträume $A$ und $B$ majorisiert sind:

$\lambda _{\rho _{AB}}\prec \lambda _{\rho _{A}}\ {\text{und}}\ \lambda _{\rho _{AB}}\prec \lambda _{\rho _{B}}$

Hierin steht:

• $\lambda _{\rho _{AB}}$ für den Eigenwertvektor der Dichtematrix $\rho _{AB}$ des Gesamtsystems bestehend aus Alice und Bob,
• $\lambda _{\rho _{A}}$ für den Eigenwertvektor der Dichtematrix $\rho _{A}$ von Alice,
• $\lambda _{\rho _{B}}$ für den Eigenwertvektor der Dichtematrix $\rho _{B}$ von Bob.

Der Operator $\prec$ wird als „… wird majorisiert durch …“ gesprochen und $x\prec y$ bedeutet für zwei Eigenwertvektoren $x$ und $y$ der Dimension $d$:

$x\prec y\Leftrightarrow {\begin{cases}\sum _{j=1}^{k}x_{j}^{\downarrow }\leq \sum _{j=1}^{k}y_{j}^{\downarrow }&{\text{wenn }}1\leq k\leq d-1\\\sum _{j=1}^{d}x_{j}^{\downarrow }=\sum _{j=1}^{d}y_{j}^{\downarrow }&k=d\end{cases}}$

Die Markierung $\ \downarrow$ deutet dabei an, dass die Eigenwerte im jeweiligen Eigenwertvektor $x_{i},y_{i}$ absteigend nach ihrer Größe sortiert sind. Wenn die Dimension eines Eigenwertvektors kleiner als der andere ist, so wird sie durch Anfügen von Nullen an den Größeren angeglichen.

Verwendung

Für separable Dichtematrizen ist das Kriterium erfüllt. Wenn das Kriterium nicht erfüllt ist, ist die Dichtematrix nicht separabel. Der Umkehrschluss, dass aus der Erfüllung des Majorisationskriteriums die Separabilität der Dichtematrix folgt, bzw. dass für eine nicht-separable Dichtematrix das Majorisationskriterium nicht erfüllt ist, gilt nicht.

Es gibt beispielsweise isospektrale Zustände, die zwar das Majorisationskriterium erfüllen, aber nicht separabel sind (siehe unten).

Das Majorisationskriterium ist schwächer als das Reduzierungskriterium oder das Peres-Horodecki-Kriterium, weil aus einem erfüllten Peres-Horodecki-Kriterium in 2x2 bzw. 2x3 Dimensionen (d.h. einem Zustand, der aus zwei Qubits oder einem Qubit und einem Qutrit, also einem Teilchen mit drei möglichen Zuständen, zusammengesetzt ist) die Separabilität von $\rho$ folgt, während die Rückrichtung beim Majorisationskriterium im Allgemeinen nicht erfüllt ist.

Beweis

Inhaltlich orientiert sich der Beweis an einschlägiger Literatur. Um das Kriterium zu beweisen, ist es notwendig, eine bistochastische Matrix $B$ zu finden, sodass die Eigenwerte der Dichtematrix (in beliebiger Reihenfolge) aus den Eigenwerten der reduzierten Dichtematrix folgen: $\lambda _{\rho _{AB}}=B\cdot \lambda _{\rho _{A}}$. Mithilfe dieser Gleichung lässt sich zeigen, dass alle Schur-konvexen Funktionen oben gezeigte Ungleichung

$x^{\downarrow }\prec y^{\downarrow }\Rightarrow \sum _{j=1}^{k}x_{j}^{\downarrow }\leq \sum _{j=1}^{k}y_{j}^{\downarrow }$

erfüllen, für Schur-konkave Funktion folgt die selbe Ungleichung, in der sich die Richtung des Ungleichheitszeichens ändert. Damit lässt sich das Majorisierungskriterium auf das Entropie-Kriterium zurückführen, bei dem aus der von-Neumann-Entropie Rückschlüsse auf die Separabilität gezogen werden können: Bei einem reinem Zustand verschwindet die von-Neumann-Entropie, wenn sie aber für ihre partiellen Spuren nicht verschwindet, ist der Zustand verschränkt.

Beispiele

Isospektrale Zustände

Sei

$\rho _{AB}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

mit den Eigenwerten der Dichtematrix $\textstyle \lambda _{\rho _{AB}}^{\downarrow }=\left\{{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},0,0\right\}$ ein (nach PPT-Kriterium) verschränkter Zustand, dann sind dessen partielle Spuren gegeben als

$\rho _{A}=\rho _{B}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$

mit den Eigenwerten $\textstyle \lambda _{\rho _{A},\rho _{B}}^{\downarrow }=\left\{{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right\}$. Hier ist das Majorisationskriterium also offensichtlich erfüllt, da die Summen über die Eigenwerte identisch sind. Wäre die Rückrichtung des Majorisationskriteriums erfüllt, unterläge man hier dem Trugschluss, dass $\rho _{AB}$ separabel wäre, obwohl es ein verschränkter Zustand ist.

Werner-Zustände

Betrachte die Zustände der Qubit-Familie der Werner-Zustände, $\textstyle \rho _{AB}=p\,|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+{\frac {1-p}{4}}I$ mit der Einheitsmatrix $I$.

Die Dichtematrix lautet

$\rho _{AB}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}$.

Die Eigenwerte dieser Dichtematrix sind gegeben als

$\lambda _{\rho _{AB}}^{\downarrow }{\begin{pmatrix}{\frac {1+3p}{4}}\\{\frac {1-p}{4}}\\{\frac {1-p}{4}}\\{\frac {1-p}{4}}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}$.

Die partielle Spur über $A$ und $B$ ist gegeben als $\textstyle \rho _{A}={\text{tr}}_{B}\left(\rho _{AB}\right)={\frac {1}{2}}I$, also sind die Eigenwerte gegeben als $\textstyle \left\{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\}$. Fülle diese jetzt mit Nullen auf, bis die selbe Dimension wie für $\lambda _{\rho _{AB}}^{\downarrow }$ erreicht ist und erhalte

$\lambda _{\rho _{A}}^{\downarrow }=\lambda _{\rho _{B}}^{\downarrow }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\0\\0\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{pmatrix}}$.

Rechne nun das Majorisationskriterium nach:

${\begin{aligned}k=1\colon &\quad b_{1}\leq a_{1}\Rightarrow {\frac {1+3p}{4}}\leq {\frac {1}{2}}\Rightarrow p\leq {\frac {1}{3}}\\k=2\colon &\quad b_{1}+b_{2}\leq a_{1}+a_{2}\Rightarrow {\frac {1+3p}{4}}+{\frac {1-p}{4}}\leq {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\Rightarrow p\leq 1\\k=3\colon &\quad \sum _{i=1}^{3}b_{i}\leq \sum _{i=1}^{3}a_{i}\Rightarrow {\frac {3}{4}}+{\frac {p}{4}}\leq 1\Rightarrow p\leq 1\\k=4\colon &\quad \sum _{i=1}^{4}b_{i}\leq \sum _{i=1}^{4}a_{i}\Rightarrow 1\leq 1\end{aligned}}$

Daraus folgt also, dass der Werner-Zustand für $p>{\tfrac {1}{3}}$ verschränkt ist, was das gleiche Ergebnis ist, was auch aus dem Peres-Horodecki-Kriterium hervorgeht.

Literatur

• Michael Nielsen, Julia Kempe: Separable States Are More Disordered Globally than Locally. In: Physical Review Letters. Band 86, Nr. 22, 2001, S. 5184–5187, doi:10.1103/PhysRevLett.86.5184. 
• Tohya Hiroshima: Majorization Criterion for Distillability of a Bipartite Quantum State. In: Physical Review Letters. Band 91, Nr. 5, 2003, S. 057902, doi:10.1103/PhysRevLett.91.057902, arxiv:quant-ph/0303057.