Syllogismus

Die Syllogismen (Mehrzahl von Syllogismus) bilden den Kern der klassischen Logik des Aristoteles in den Analytiken (Analytica Priora, Analytica Posteriora). Sie sind ein Katalog von Typen logischer Schlussfolgerungen.

Diese Folgerungen sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), genannt Obersatz und Untersatz ergeben eine Konklusion (Schlussfolgerung).

Innerhalb dieser drei kategorischen Urteile werden wiederum drei Begriffe verwendet, die der Syllogismus in Beziehung setzt: das Prädikat (P), das auf der rechten Seite der Konklusion und im Obersatz vorkommt, das Subjekt (S), das auf der linken Seite der Konklusion und im Untersatz vorkommt, und der Mittelbegriff (M), der im Obersatz und im Untersatz, nicht aber in der Konklusion vorkommt. Subjekt und Prädikat in der Syllogistik sind Begriffe, weshalb es sich bei der Syllogistik um eine Begriffslogik handelt.

Ein Beispiel für einen gültigen Syllogismus ist folgendes:

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).

Prämisse 2 (oder Untersatz): Alle Griechen (S) sind Menschen (M).

Konklusion (oder Schlusssatz): Also sind alle Griechen (S) sterblich (P).

Typen von Aussagen

Eine Aussage in einem Syllogismus setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung (kategorisches Urteil). Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:

A - das allgemein bejahende Urteil - "alle S sind P (und es gibt tatsächlich S)"
E - das allgemein verneinende Urteil - "kein S ist P"
I - das partikulär bejahende Urteil - "einige S sind P"
O - das partikulär verneinde Urteil - "einige S sind nicht P"

Die Vokale stammen dabei aus den lateinischen Worten "affirmo" (ich bejahe) und "nego" (ich verneine), wobei jeweils der erste Vokal für ein allgemeines, der zweite für ein partikuläres Urteil steht.

Logisches Quadrat

Datei:Logisches Quadrat korr.png

Das logische Quadrat

Zwischen den unterschiedlichen Aussagentypen bestehen verschiedene Beziehungen:

Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder gleichzeitig wahr noch gleichzeitig falsch sein können, mit anderen Worten: Wenn beide unterschiedliche Wahrheitswerte haben müssen. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn die eine Aussage die Negation der anderen ist (und umgekehrt). Für die syllogistischen Aussagentypen trifft das kontradiktorische Verhältnis auf die Paare A-O und I-E zu.
Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide zugleich wahr, wohl aber beide falsch sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar A–E in konträrem Gegensatz.
Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn nicht beide zugleich falsch (wohl aber beide zugleich wahr) sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar I-O in subkonträrem Gegensatz.
In der Syllogistik wird das allgemein bejahende Urteil so verstanden, dass das Subjekt S nicht leer ist. Die Aussage "Alle S sind P" setzt also voraus bzw. sagt mit aus, dass es überhaupt S gibt. Unter dieser Voraussetzung besteht zwischen den Aussagetypen A und I einerseits und E und O andererseits ein Folgerungszusammenhang: Aus A folgt I, d.h. wenn alle S P sind, dann gibt es auch tatsächlich S, die P sind; und aus E folgt O, d.h. wenn keine S P sind, dann gibt es tatsächlich S, die nicht P sind.

Diese Zusammenhänge werden oft in einer Tabelle, die unter dem Namen "Logisches Quadrat" bekannt wurde, zusammengefasst (siehe Abbildung).

Existenzielle Voraussagen

Wie schon im logischen Quadrat ersichtlich, macht die Syllogistik bei allgemeinen Urteilen Existenzaussagen über das Subjekt, d.h. sie setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist: Die Aussage "Alle S sind P" sagt mit aus, dass es tatsächlich S gibt, meint also: "Es gibt S, und alle davon sind P". Die Aussage "Keine S sind P" sagt mit aus, dass es tatsächlich S gibt, meint also: "Es gibt S, und keine davon sind P".

Obwohl diese existenziellen Voraussetzungen dem natürlichen Sprachgebrauch entsprechen (normalerweise empfindet man nur Allaussagen über tatsächlich vorhandene Dinge als sinnvoll), ist es wichtig, sich ihrer bewusst zu sein, weil es durchaus auch logische Systeme gibt, die diese Voraussetzungen nicht machen.

Figuren

Welche der drei Begriffe S, P und M in einer Aussage des Syllogismus vorkommen müssen, ist festgelegt: Der Obersatz besteht aus P und M, der Untersatz aus S und M, die Konklusion aus S und P. Die Konklusion hat dabei immer die Form S - P, die Anordnung der Begriffe in den Prämissen kann frei gewählt werden. Je nach Anordnung unterscheidet man die vier Figuren:

1. Figur: M - P, S - M, S - P
2. Figur: P - M, S - M, S - P
3. Figur: M - P, M - S, S - P
4. Figur: P - M, M - S, S - P

Beispiel:

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).

Prämisse 2 (oder Untersatz): Alle Griechen (S) sind Menschen (M).

Konklusion (oder Schlusssatz): Also sind alle Griechen (S) sterblich (P).

Aufgrund der Stellung der Begriffe M - P, S - M, S - P erkennt man einen Syllogismus der 1. Figur.

Modi (Kombinationen)

Es gibt in jeder Figur mehrere Modi (auch: Kombinationen), die sich voneinander durch die Typen der auftretenden Urteile unterscheiden. Jede der drei Aussagen im Syllogismus kann von einem der vier Typen A, E, O, I sein. Bei vier Figuren und vier Typen ergeben sich also 64 Kombinationsmöglichkeiten. Ein Modus wird durch drei Buchstaben beschrieben. Dabei stehen die ersten beiden Buchstaben für die Typen der Prämissen, der dritte Buchstabe für den Typ der Konklusion.

Beispiel:

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).

Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).

Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).

Prämisse 1 ist vom Typ A, Prämisse 2 vom Typ I, die Konklusion folglich ebenfalls vom Typ I. Es handelt sich also um einen Syllogismus vom Typ AII.

Mit Hilfe der Regeln des einfachen kategorischen Syllogismus erkennt man 24 Typen von korrekten Schlüssen, die folgende Namen tragen:

1. Figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront
2. Figur: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros
3. Figur: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison
4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemos

Dabei bezeichnen die Vokale die Typen der Aussagen in der Reihenfolge Obersatz, Untersatz, Konklusion. Die Konsonanten geben an, aus welchem der Syllogismus der 1. Figur (1. Buchstabe) und durch welche Veränderung (jeweils auf Vokal folgender Konsonant) die Syllogismen der anderen Figuren hergeleitet werden können.

Zu den 19 fett gedruckten Modi stehen unten Beispiele, die übrigen 5 sind sog. „schwache“ Konklusionen, da ihre partikularen Urteile bereits in den allgemeinen Urteilen der starken Konklusionen enthalten sind. Beispiele:

Modus Barbara (stark): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Alle Schwabinger sind Bayern.

Modus Barbari (schwach): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind Bayern.

Modus Celarent (stark): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Kein Schwabinger ist Passauer.

Modus Celaront (schwach): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind keine Passauer.

Die schwachen Schlussfolgerungen sind dennoch logisch valide.

Siehe auch: Modus eines Syllogismus

Syllogismen im Kontext der modernen Mathematik

Die klassischen Syllogismen lassen sich heute als Anwendung der umfassenderen Prädikatenlogik verstehen. Auch lassen sie sich als Mengenbeziehungen darstellen.

Beispiel:

Syllogismus:

Alle Menschen sind sterblich.

Alle Griechen sind Menschen.

Also sind alle Griechen sterblich.

mengenmäßig:

Die (nicht leere) Menge der Menschen ist eine Teilmenge der Menge der Sterblichen.

Die (nicht leere) Menge der Griechen ist eine Teilmenge der Menge der Menschen

Also ist die (nicht leere) Menge der Griechen eine Teilmenge der Menge der Sterblichen.

prädikatenlogisch:

\exists x:menschlich(x)\land \forall x:(menschlich\left(x\right)\rightarrow sterblich\left(x\right))

\exists x:grieche(x)\land \forall x:(grieche\left(x\right)\rightarrow mensch\left(x\right))

\exists x:grieche(x)\land \forall x:(grieche\left(x\right)\rightarrow sterblich\left(x\right))

Metathesis praemissarum

metathesis praemissarum (lat.) bezeichnet eine logische Operation im Syllogismus.
Durch diese Operation werden die Prämisse minor und die Prämisse major miteinander vertauscht.

Einfache Regeln für die Gültigkeit von Schlüssen

1. Ex mere negativis nihil sequitur (lat. Allein aus verneinten Aussagen können keine Schlüsse gezogen werden): bezeichnet eine Logikregel, nach der ein einfacher kategorischer Syllogismus nicht nur verneinende Prämissen enthalten darf.

Aus den Prämissen "Kein Planet hat eigene Lichtquellen" und "Die Sonne ist kein Planet" kann z.B. kein wahrer Schlusssatz gewonnen werden.

2. Nihil sequitur geminis ex particularibus unquam (lat. Aus zwei partikularen Prämissen kann nichts gefolgert werden).

Aus den Prämissen "Einige Säugetiere leben im Wasser" und "Einige Tiere, die auf dem Land leben, sind Säugetiere" kann ebenfalls kein wahrer Schlusssatz im Syllogismus abgeleitet werden.

3. Ambae affirmantes nequeunt generare negantem (lat. Aus zwei affirmativen Prämissen kann kein negativer Schlusssatz gefolgert werden.)

Beispiele und Anmerkungen

Zur ersten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der ersten Figur hat die Form MxP und SyM → SzP.

Die erste Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAA - Modus Barbara

Beispiel: Alle Rechtecke sind Vierecke; Alle Quadrate sind Rechtecke; Es folgt: Alle Quadrate sind Vierecke

EAE - Modus Celarent

Beispiel: Kein Rechteck ist ein Kreis; Alle Quadrate sind Rechtecke; Es folgt: Also ist kein Quadrat ein Kreis

AII - Modus Darii

Beispiel: Alle Quadrate sind Rechtecke; Einige Rhomben sind Quadrate; Es folgt: Einige Rhomben sind Rechtecke

EIO - Modus Ferio

Beispiel: Kein Säugetier atmet durch Kiemen; Einige Wassertiere sind Säugetiere; Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht durch Kiemen

Zur zweiten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der zweiten Figur hat die Form # 2. Figur: PxM und SyM → SzP.

Die zweite Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

EAE - Modus Cesare

Beispiel: Kein Säugetier atmet durch Kiemen; Alle Fische atmen durch Kiemen; Es folgt: Kein Fisch ist ein Säugetier

AEE - Modus Camestres

Beispiel: Alle Fische atmen durch Kiemen; Kein Säugetier atmet durch Kiemen; Es folgt: Kein Säugetier ist ein Fisch

EIO - Modus Festino

Beispiel: Kein Abgeordneter ist ein Gauner.; Einige Rechtsanwälte sind Gauner.; Es folgt: Einige Rechtsanwälte sind keine Abgeordnete.

AOO - Modus Baroco

Beispiel: Alle Professoren sind ernst.; Einige Dozenten sind nicht ernst.; Es folgt: Einige Dozenten sind nicht Professoren

Zur dritten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der dritten Figur hat die Form MxP und MyS → SzP.

Die dritte Figur besitzt folgende sechs Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAI - Modus Darapti

Beispiel: Alle Quadrate sind Vierecke; Alle Quadrate sind Rechtecke; Es folgt: Einige Vierecke sind Rechtecke

Anmerkung: Der Modus Darapti setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussagen.

IAI - Modus Disamis

Beispiel: Einige Früchte sind Äpfel.; Alle Früchte sind Pflanzen.; Es folgt: Einige Pflanzen sind Äpfel.

AII - Modus Datisi

Beispiel: Alle Rechtecke sind Vierecke.; Einige Rechtecke sind Quadrate.; Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate.

EAO - Modus Felapton

Beispiel: Keine Münchner sind Passauer; Alle Münchner sind Bayern; Es folgt: Einige Bayern sind keine Passauer

OAO - Modus Bocardo

Beispiel: Einige Münchner sind nicht Politiker; Alle Münchner sind Bayern; Es folgt: Einige Bayern sind nicht Politiker

EIO - Modus Ferison

Beispiel: Keine Münchner sind Passauer; Einige Münchner sind Studenten; Es folgt: Einige Studenten sind nicht Passauer

Zur vierten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der vierten Figur hat die Form PxM und MyS → SzP.

Die vierte Figur besitzt folgende fünf Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAI - Modus Bamalip

Beispiel: Alle Quadrate sind Rechtecke; Alle Rechtecke sind Vierecke; Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate

Anmerkung: Der Modus Bamalip setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate und Rechtecke gibt (wobei die Existenz letzterer in diesem Fall aus der Existenz ersterer bereits folgt); vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussagen.

AEE - Modus Calemes

Beispiel: Alle Passauer sind Bayern; Keine Bayern sind Sachsen; Es folgt: Keine Sachsen sind Passauer

IAI - Modus Dimaris

Beispiel: Einige Rhomben sind Rechtecke; Alle Rechtecke sind Parallelogramme; Es folgt: Einige Parallelogramme sind Rhomben (Nämlich die Quadrate)

EAO - Modus Fesapo

Beispiel: Keine Passauer sind Münchner; Alle Münchner sind Stadtbewohner; Es folgt: Einige Stadtbewohner sind keine Passauer

EIO - Modus Fresison

Beispiel: Keine Passauer sind Münchner; Einige Münchner sind Studenten; Es folgt: Einige Studenten sind keine Passauer

Literatur

Aristoteles: Organon. 4 Teile in 3 Bänden, Meiner 2001, ISBN 3787315969
Arnold Geulincx (1662): Logica fundamentalis.
Günther Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der "Ersten Analytik". 3. Aufl., Göttingen, 1969
in englischer Sprache:
- William Kneale, Martha Kneale: The Development of Logic, Clarendon Press 1962 ISBN 0-19-824773-7 - Standardwerk zur Geschichte der Logik
- Jan Łukasiewicz: Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic, Oxford: Clarendon Press ²1957 - Standardwerk der modernen Syllogismusforschung
- Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions, Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1964 - einfache Darstellung

Siehe auch

Wiktionary: Syllogismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Begriffslogik
Syllogismen in der traditionellen Rhetorik:
- Epicherem - Syllogismus, in dem jede Prämisse ihrerseits ein Syllogismus ist, allerdings nach Art eines Enthymem verkürzt
- Episyllogismus - Syllogismus, in dem der Schlusssatz eines vorangehenden Syllogismus als erste Prämisse erscheint.
- Sophismus des kollektiven Mittelbegriffs

Weblinks