Menger-Schwamm

Der Menger-Schwamm gehört wie das Sierpinski-Dreieck und die Koch-Kurve zu den Objekten der fraktalen Geometrie. Der Mengersche Schwamm ist ein dreidimensionales Analogon der Cantor-Menge oder des Sierpinski-Teppichs: aus einem Quadrat wird in der Mitte ein Neuntel der Fläche des Quadrats entfernt. Aus den von dem Quadrat um das Loch verbliebenen acht quadratischen Feldern wird wiederum je ein Neuntel der Fläche entfernt, und so weiter.

Sierpinski-Teppich:
Stufe 0	Stufe 1	Stufe 2	Stufe 3	Stufe 4	Stufe 5

Wenn man den Sierpinski-Teppich nun auf einen Würfel überträgt, dann bekommt man ein Gebilde, das einem Schwamm nicht unähnlich ist. In jedem Iterationsschritt wird der Würfel in 27 (3*3*3) Teilwürfel zerlegt und 7 dieser Teilwürfel werden entfernt. Das Volumen des Schwammes konvergiert dabei gegen 0, während die Oberfläche gegen unendlich strebt.

Formale Definition

Formal lässt sich ein Menger-Schwamm M auf folgende Weise definieren:

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

wobei M₀ den Einheitswürfel bezeichne und

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{und hoechstens eines aus }}i,j,k{\mbox{ hat den Wert 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}$

Bilder

Würfel

1. Iteration

2. Iteration

3. Iteration

4. Iteration

5. Iteration

Modell eines Mengerschwamms in der 4. Iterationsstufe. Hergestellt mit einem 3D-Drucker von Z-Corporation durch Dr. Daniel Lordick, Institut für Geometrie, TU Dresden, Dez. 2004

Weblinks

Commons: Menger-Schwamm – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Menger Sponge -- from MathWorld (engl.)
• FraktaleZuhause - Menger-Schwamm
• Institut für Visualisierung und Interaktive Systeme - Menger-Schwamm