Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix genannt) ist die mehrdimensionale Erweiterung der aus der Schulmathematik bekannten eindimensionalen Ableitung. Genutzt wird sie z.B. in der näherungsweisen Berechnung/Approximation oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Die Jacobi-Matrix ist die m × n-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen einer differenzierbaren Funktion

f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}

Als lineare Abbildung stellt sie die beste lineare Approximation einer differenzierbaren Funktion in einem gegebenen Punkt dar (siehe auch Taylor-Formel), und bildet damit die Matrix-Darstellung der 1. Ableitung dieser Funktion.

Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z.B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird Funktionaldeterminante genannt.

Allgemein lautet die Jacobi-Matrix:

$(\partial _{k}f_{s}(x_{o}))_{s,k}$

für s=0,...,m-1, k=0,...,n-1.

Bei n = m = 3:

f(x,y,z)={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y,z)\\f_{2}(x,y,z)\\f_{3}(x,y,z)\end{pmatrix}}

lautet sie:

J={\frac {\partial f}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\partial f_{1}/\partial x&\partial f_{1}/\partial y&\partial f_{1}/\partial z\\\partial f_{2}/\partial x&\partial f_{2}/\partial y&\partial f_{2}/\partial z\\\partial f_{3}/\partial x&\partial f_{3}/\partial y&\partial f_{3}/\partial z\end{pmatrix}}

und kann, wenn man sie für einen Punkt p ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von f in der Nähe von p verwendet werden:

f(x,y,z)\approx f(p_{x},p_{y},p_{z})+J_{p}\cdot {\begin{pmatrix}x-p_{x}\\y-p_{y}\\z-p_{z}\end{pmatrix}}

Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von f. Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.

Jacobideterminante

Für den Fall m=n ist f eine nxn-Abbildung und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. Hierfür kann man dann die Jacobi-Determinante berechnen.

Diese Determinante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion f in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die stetig differenzierbare Funktion in der Nähe des Punktes p invertierbar ist, ist die Jacobideterminante in p nicht null. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in p die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Jacobideterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt p gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von f expandiert oder schrumpft.

siehe auch: