Bézierkurve

Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau (1910-1999) bei Citroën entwickelt und ist ein wichtiges Werkzeug im CAD. Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.

Definition

Eine $n$ -dimensionale Bézierkurve ist eine Kurve der Form

$C(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{i}B_{i,n}(t)$ , mit den Kontrollpunkten $P_{i}$ und den Bernsteinpolynomen $B_{i,n}(t)={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}$ und $0\leq t\leq 1$ .

Am gebräuchlichsten sind kubische ( $n=3$ ) Bézierkurven. Eine solche ist in nebenstehender Abbildung mit ihren vier Kontrollpunkten $P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}$ und dem sich aus diesen ergebenden Kontrollpolygon zu sehen. Während es prinzipiell auch andere Darstellungen für Kurven gibt, eignet sich die Bernsteinform am besten für den interaktiven Entwurf am Bildschirm, da sich die Bézierkurve an das Polygon der Kontrollpunkte annähert und so intuitiv bearbeitbar ist.

Weitere wichtige Eigenschaften jeder Bézierkurve, die sich aus den Eigenschaften der Bernsteinpolynome ergeben, sind:

Die Kurve geht genau durch die Endpunkte $P_{0}$ und $P_{n}$ . (Die Eigenschaft ergibt sich direkt aus dem Aufbau der zugehörigen Bernsteinpolynome: An der Stelle $t=0$ ist das erste Bernsteinpolynom $B_{0,n}$ gleich $1$ und alle übrigen gleich $0$ . Entsprechend verhält es sich mit dem letzten Bernsteinpolynom $B_{n,n}$ an der Stelle $t=1$ . Damit nimmt die Kurve bei $t=0$ den Wert $P_{0}$ und bei $t=1$ den Wert $P_{n}$ an.
Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons.
In den Endpunkten ist sie tangential zu $P_{1}-P_{0}$ bzw. $P_{n}-P_{n-1}$ .
Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve hat eine beschränkte Schwankung).
Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden ("affine Invarianz").
Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).

Als verallgemeinerte Form der Bézierkurve kann die Bézierfläche gesehen werden. Eine $(n,m)$ -dimensionale Bézierfläche ist eine Fläche der Form

$\mathbf {C} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\mathbf {k} _{i,j}B_{i,n}(u)B_{j,m}(v)$ , mit den Kontrollpunkten $P_{i,j}$ und den Bernsteinpolynomen $B_{i,n}(u)$ und $B_{j,m}(v)$ .

Eine Bézierfläche kann also durch zwei zueinander orthogonale Bézierkurven beschrieben werden.

Anwendung

In der Computergrafik werden Bézierkurven zur Definition von Kurven und Flächen im Rahmen von CAD, bei Vektorgrafiken (z. B. SVG) und zur Beschreibung von Schriften (z. B. Postscript Type1 und CFF-Opentype) verwendet.

Die Auswertung einer Bézierkurve in einem bestimmten Punkt kann schnell mit Hilfe des de Casteljau-Algorithmus erfolgen.

Beispiele

Lineare Bézierkurven (n=1)

Zwei Kontrollpunkte P₀ und P₁ bestimmen eine lineare Bézierkurve, die einer Geraden zwischen diesen beiden Punkten entspricht. Die Kurve wird angegeben durch

C(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]

.

Quadratische Bézierkurven (n=2)

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion C(t) für die Punkte P₀, P₁ und P₂ verfolgt wird:

C(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1]

.

Kubische Bézierkurven (n=3)

Vier Punkte (P₀, P₁, P₂ und P₃) bestimmen eine kubische Bézierkurve. Die Kurve beginnt bei P₀ und geht in Richtung P₁ und dann aus Richtung P₂ zu P₃. Im Allgemeinen geht die Kurve nicht durch P₁ und P₂ - diese Punkte dienen nur der Richtung, wobei P₁ die Richtung bestimmt, in welche die Kurve in P₀ geht. P₂ legt die Richtung fest, aus welcher die Kurve durch P₃ geht. Der Abstand zwischen P₀ und P₁ und der Abstand von P₂ und P₃ bestimmen, "wie weit" sich die Kurve in Richtung der Kontrollpunkte P₁ und P₂ bewegt, bevor sie in Richtung P₃ läuft.