Nichteuklidische Geometrie
Nichteuklidische Geometrien unterscheiden sich von der euklidischen Geometrie dadurch, dass in ihnen das Parallelenaxiom nicht gilt. Sie sind damit nicht „Geometrie“ in dem Sinne, dass sie unsere Raumerfahrung präzisieren. Vielmehr handelt es sich um axiomatische Theorien, deren „Gültigkeit“ zunächst allein darin besteht, dass sie als widerspruchsfrei nachgewiesen sind.
Nichteuklidische Geometrien wurden entwickelt in der Auseinandersetzung mit dem Parallelenproblem. Dass es sie gibt, beweist, dass das Parallelenaxiom keine bloße Folgerung aus den übrigen Axiomen der euklidischen Geometrie sein kann.
Man erhält nichteuklidische Geometrien, indem man das Parallelenaxiom aus dem Axiomensystem weglässt oder es abändert.
Die grundlegenden Änderungsmöglichkeiten sind:
- Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele. Zwei verschiedene Geraden in einer Ebene schneiden sich also immer.
Diese Annahme ist nicht mit allen übrigen Axiomen der euklidischen Geometrie vereinbar. In der Regel wird die Festlegung fallengelassen, dass es zwischen zwei Punkten stets nur eine Verbindungsgerade geben kann. Dies führt dann zu einer elliptischen Geometrie. Ein anschauliches Modell einer zweidimensionalen elliptischen Geometrie ist die Geometrie auf einer Kugelfläche. Hier ist die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180°.
- Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mindestens zwei Parallelen. Hierbei können alle anderen Axiome gewahrt werden. Man erhält eine hyperbolische Geometrie. Ein zweidimensionales Beispiel ist hier die Geometrie auf einer Sattelfläche. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist nun kleiner als 180°.
Inzwischen spielt nichteuklidische Geometrie eine wichtige Rolle in der theoretischen Physik und der Kosmologie. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie weicht die Geometrie des Weltalls überall dort von der euklidischen ab, wo die Anwesenheit von Massen für eine „Verzerrung“ des Raumes sorgt.
Ob die Geometrie des Universums „im Großen“ sphärisch (elliptisch), eben (das heißt euklidisch) oder hyperbolisch ist, gehört zu den großen aktuellen Fragen der Physik.
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