Cobb-Douglas-Funktion

Die Cobb-Douglas-Funktion, eine Spezialfunktion der CES-Produktionsfunktion, wird sowohl in der Mikro- und Makroökonomie als auch in der Produktionswirtschaft häufig verwendet. Sie wird sowohl als Nutzen- als auch als Produktionsfunktion eingesetzt.

Erfinder

Knut Wicksell (1851-1926) hat sie zuerst benutzt. Der Name geht auf die Neuentdeckung der US-amerikanischen Ökonomen Paul Douglas und Charles Cobb im Jahre 1928 zurück.

allgemeine Form

$y=c\prod _{i}x_{i}^{a_{i}}$ mit $c$ , $a_{i}$ > 0

$c$ ist ein Niveauparameter, der bei geeigneter Normierung von $y$ aber verzichtbar ist. Die $a_{i}$ sind die partiellen Elastizitäten von $y$ bzgl. $x_{i}$ .

Die Funktion ist homogen vom Grad $\sum a_{i}$ .

Die Funktion wird als Beispiel für Nutzenfunktionen sowie als Produktionsfunktion eingesetzt.

Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Nachfragefunktionen, die aus einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion gewonnen werden, haben die Eigenschaft, dass die Haushalte für die Güter $x_{i}$ immer einen konstanten Anteil $a_{i}$ von ihrem Einkommen ausgeben. Es gilt das Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der Substitution.

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Meist in der Form $Y=c\cdot K^{a}\cdot A^{b}$ .

Y: Produktionsmenge
c: Konstanter Faktor. Ist c nicht konstant, sondern wird mit der Zeit größer, dann kann so technischer Fortschritt abgebildet werden. Als Faktor vor der gesamten Produktionsfunktion wie hier bildet c(t) (t = Zeit) Hicks-neutralen technischen Fortschritt ab.
K: Kapitalstock
A: Arbeitseinsatz

Die partiellen Produktionselastizitäten lassen sich als $a$ und $b$ ebenso wie die Skalenelastizität $a+b$ unmittelbar ablesen. Abnehmende Grenzproduktivitäten liegen vor, wenn $a,b<1$ .

Ein besonders einfacher Fall liegt vor, wenn $a+b=1$ gilt. Wird K und A um einen bestimmten Prozentsatz erhöht, erhöht sich die Ausbringung Y um denselben Prozentsatz.

In der Abbildung ist eine linear homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion als "Produktionsgebirge" dargestellt. Die Fläche des Gebirges setzt sich aus Geraden zusammen, die vom Ursprung (0,0,0) ausgehen. Hält man einen Produktionsfaktor konstant und erhöht den anderen Produktionsfaktor, dann erhöht sich auch der Output, aber in immer geringerem Maße, die partielle Grenzproduktivität eines Faktors nimmt mit steigender Einsatzmenge dieses Faktors ab. Die partielle Grenzproduktivität ist die Steigung des Produktionsgebirges, wenn man sich auf ihm senkrecht zur Achse des konstant gehaltenen Produktionsfaktors bewegt.

Bewegt sich die Volkswirtschaft entlang einer "Höhenlinie", dann wird der Einsatz eines Produktionsfaktors durch den des anderen substituiert. Es gilt das Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der technischen Substitution.

Literatur

Charles W. Cobb, Paul H. Douglas: „A Theory of Production“ in American Economic Review, Mar28 Supplement, Vol. 18 Issue 1, S. 139-165.