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Schwarzschild-Metrik

(Forts. nach manueller Auslagerung auf Unerledigt/2017)

Werte Diskutanten, da die Diskussion und die Änderungen am Artikel hier etwas unübersichlicht geworden ist, werde ich diese Diskussion jetzt im Namen der Redaktion Physik moderieren. Bis zum Abschluss der Diskussion jedes einzelnen Änderungswunsches mit einem Konsens sind alle Änderungen am Artikel ausdrücklich unerwünscht und werden revertiert. Bitte beachtet auch die folgenden Regeln für die Diskussion:--Alturand (Diskussion) 11:15, 17. Feb. 2017 (CET)

Hinweis: Dies ist ein strukturierter Diskussionsvorschlag für einen umstrittenen Abschnitt. Hier nur Beiträge, die die im weiteren genannten formalen Vorgaben akzeptieren, die sich unter den genannten Umständen bewährt haben. Es werden der derzeitige Vorschlag, und ein Alternativvorschlag angezeigt. Bei der Sektion Begründung und Diskussion bitte beachten, daß für jeden Beitragenden ein einleitend mit dem Namen gekennzeichner Abschnitt vorgesehen ist. Dafür gilt eine feste Längenbegrenzung von insgesamt 200 Worten. Daher NICHT direkt nach Beiträgen anderer antworten, sondern immer im eigenen Abschnitt. Wenn die Diskussion erfolgreich abgeschlossen ist, ist der Konsens abgebildet, der Diskussionsverlauf ist der Versionsgeschichte zu entnehmen. Wer sich nicht an diese Regeln halten möchte oder kann, ist jederzeit frei, dies in anderen Bereichen der Diskussion zu tun oder im Abschnitt Offtopic sich zu äußern Ich behalte mir vor, im Rahmen der Moderation dieses Abschnitts jeglichen Beitrag zu revertieren, den ich im Sinne einer Konsensfindung für nicht zielführend halte.

Aktueller Text	Alternativvorschlag
Äußere Lösung - Geometrische Deutung: Die beim Schwarzschild-Radius befindliche Grenzfläche nennt man den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff auch häufig als Synonym für den Schwarzschild-Radius verwendet wird.	Äußere Lösung - Geometrische Deutung: Die beim Schwarzschild-Radius befindliche Grenzfläche nennt man den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff in diesem Kontext als Synonym für den Schwarzschild-Radius verwendet wird.
keine Entsprechung	Äußere Lösung – Bewegung eines Testteilchens im Gravitationsfeld @Karl Hilpolt: Bitte hierher auslagern und vorstehenden Wikilink hier stehen lassen.--Alturand (Diskussion) 09:18, 22. Apr. 2017 (CEST) ${\begin{aligned}{\dot {t}}&=k\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1},\\{\dot {\phi }}&={\frac {h}{r^{2}}},\\\quad {\ddot {r}}&={\frac {h^{2}}{r^{3}}}\left(1-{\frac {3M}{r}}{}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\epsilon .\end{aligned}}$
Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen Animation der Bewegung eines Testpartikels. Links: klassische Mechanik, rechts: Schwarzschild-Lösung Mithilfe der Geodätengleichung erhält man die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen unter dem Einfluss der Masse. In Schwarzschildkoordinaten mit den Einheiten $G=c=1,\ r_{\rm {s}}=2M$ gelten ohne Beschränkung der Allgemeinheit in der $r,\phi$-Ebene die Bewegungsgleichungen mit Ableitungen bzgl. der Eigenzeit $\tau$ des Teilchens: ${\ddot {\phi }}=-{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\phi }}$ ${\ddot {r}}={\frac {M}{r(r-2M)}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {M(r-2M)}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}+(r-2M){\dot {\phi }}^{2}$ sowie für die zweite Ableitung der Koordinatenzeit $t$ nach der Eigenzeit: ${\ddot {t}}=-2{\frac {M}{r(r-2M)}}{\dot {r}}{\dot {t}}$	Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen Mithilfe der Geodätengleichung erhält man die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen unter dem Einfluss der Masse. In Schwarzschildkoordinaten mit den Einheiten $G=c=1,\ r_{\rm {s}}=2M$ gelten ohne Beschränkung der Allgemeinheit (s. Erhaltungsgrößen weiter unten) in der $r,\phi$-Ebene die Bewegungsgleichungen mit Ableitungen bzgl. der Eigenzeit $\tau$ des Teilchens: ${\ddot {\phi }}=-{\frac {2\ {\dot {r}}{\dot {\phi }}}{r}}$ ${\ddot {r}}={\frac {M\ {\dot {r}}^{2}}{r\ (r-2M)}}-{\frac {M\ (r-2M)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{3}}}+(r-2M){\dot {\phi }}^{2}$
Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen - Lösung für Raumkoordinaten Nach Entkopplung der Differentialgleichungen für $\textstyle {\ddot {r}}$ von $\textstyle {\dot {r}}$ und $\textstyle {\dot {t}}$ ergibt sich: ${\ddot {r}}=\underbrace {-{\frac {M}{r^{2}}}+r{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{klass. Term}}\underbrace {-3M{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{relativistischer Term}}$ Diese Bewegungsgleichungen unterscheiden sich von den klassischen Gleichungen nach Newton durch den zusätzlichen Term in der Gleichung für die radiale Komponente. Dieser bewirkt, dass sich Teilchen mit Ausnahme des Falls, in dem die Umlaufgeschwindigkeit die exakte Kreisbahngeschwindigkeit ist, nicht auf geschlossenen Bahnen um das stellare Objekt bewegen: Bei Entfernungen $\textstyle r>3M$ ist der Betrag des Terms $\textstyle (r-3M){\dot {\phi }}^{2}$ gegenüber der klassischen Physik vermindert. Dadurch ist die Krümmung der Bahn abseits der exakten Kreisbahn bei $\textstyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{2}(r-3M)}}$ stärker als bei einer Ellipsenbahn und die Bahn schließt sich nicht nach einem Umlauf. Dieser Effekt ist bei Untersuchungen der Periheldrehung der Merkurbahn experimentell bestätigt worden. Bei Entfernungen $\textstyle r<3M$ hat der Term $\textstyle (r-3M){\dot {\phi }}^{2}$ gegenüber der klassischen Physik ein umgekehrtes Vorzeichen. Anschaulich gesehen wirkt somit in diesem Bereich die Zentrifugalkraft anziehend statt abstoßend. Bahnen, die in den Bereich von 1,5 Schwarzschild-Radien um die Masse herum eindringen, führen demzufolge dazu, dass das Teilchen unmittelbar in die Masse stürzt.	Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen - Lösung für Teilchen mit Masse Animation der Bewegung eines Testpartikels. Links: klassische Mechanik, rechts: Schwarzschild-Lösung Für die Bewegung von Teilchen mit einer Masse $m\neq 0$, lassen sich die Bewegungsgleichungen entkoppeln, indem man ausnutzt, dass das Quadrat der 4er-Geschwindigkeit $({\rm {d}}s/{\rm {d}}t)^{2}=-1$ ist. Zunächst ergibt sich daraus ${\dot {t}}={\rm {d}}t/{\rm {d}}\tau$ unter Verwendung der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$ mit ihren im Weiteren verwendeten radialen ($v_{\parallel }$) und tangentialen ($v_{\perp }$) Komponenten als: ${\dot {t}}={\sqrt {\frac {1}{\underbrace {(1-2M/r)} _{\text{gravitativ}}\underbrace {(1-v^{2})} _{\text{kinematisch}}}}}={\sqrt {\frac {1+r\ {\dot {r}}^{2}/(r-2M)+r^{2}\ {\dot {\phi }}^{2}}{1-2M/r}}}$ Dann kürzen sich die Bewegungsgleichungen zu: ${\ddot {r}}=\underbrace {-{\frac {M}{r^{2}}}+r{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{klass. Term}}\underbrace {-3M{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{rel. Zusatzterm}}$ Diese Bewegungsgleichungen unterscheiden sich von den klassischen Gleichungen nach Newton durch den [...] Bahnen, die in den Bereich von 1,5 Schwarzschild-Radien um die Masse herum eindringen, führen demzufolge dazu, dass das Teilchen unmittelbar in die Masse stürzt.
Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen - Zusammenhang von Eigenzeit und Koordinatenzeit Für zeitartige Geodäten, also massebehaftete Teilchen, ist das Betragsquadrat der Vierergeschwindigkeit $-1$, woraus sich für die Ableitung der Koordinatenzeit nach der Eigenzeit ${\displaystyle }$ ergibt: ${\dot {t}}={\sqrt {\frac {1}{(1-2M/r)(1-v^{2})}}}={\sqrt {\frac {1+r\ {\dot {r}}^{2}/(r-2M)+r^{2}\ {\dot {\phi }}^{2}}{1-2M/r}}}$ $v$ ist hier die lokale 3er-Geschwindigkeit. Im Nenner des mittleren Terms steht links der gravitative und rechts der kinematische Teil der Zeitdilatation.
keine Entsprechung, da Verschiebung von unten	Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen - Shapiro-Verzögerung (Yukterez) Die Komponenten $u_{\perp }$ und $u_{\parallel }$ der shapiroverzögerten Geschwindigkeit $u$ im System des stationären Koordinatenbuchhalters sind: $u_{\perp }=v_{\perp }{\sqrt {1-2M/r}}$ $u_{\parallel }=v_{\parallel }(1-2M/r)$ Die radiale Komponente enthält das Quadrat des Wurzelterms, da zusätzlich zur gravitativen Zeitdilatation noch eine radiale Längenkontraktion von ebenfalls ${\sqrt {1-2M/r}}$ auftritt.
Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen - Erhaltungsgrößen Mit Hilfe der radialen ($v_{\parallel }$) und tangentialen ($v_{\perp }$) Komponente der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$ lassen sich die Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) Gesamtenergie $E$ und Drehimpuls $L$ ausdrücken: Teilchen mit Masse Teilchen ohne Masse $L=$ ${\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}v_{\perp }r$ $hfv_{\perp }r$ $E=$ ${\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {2M}{r}}}}$ $hf{\sqrt {1-{\frac {2M}{r}}}}$ $h$ steht hier für das Plancksche Wirkungsquantum und $f$ für die Frequenz. Mit dem Term $\xi :={\sqrt {{\frac {E^{2}\ r^{4}}{L^{2}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left({\frac {m^{2}\ r^{4}}{L^{2}}}+r^{2}\right)}}$ werden die Bewegungsgleichungen als Funktion der Erhaltungsgrößen bzw. der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$: bezüglich der Eigenzeit $\tau$: als Funktion von $v$: bezüglich der Koordinatenzeit $t$: ${\dot {r}}={\dot {\phi }}\ \xi$ ${\dot {r}}=v_{\parallel }{\sqrt {\frac {1-2M/r}{1-v^{2}}}}$ ${\bar {r}}={\bar {\phi }}\ \xi$ ${\dot {\phi }}={\frac {L}{m\ r^{2}}}$ ${\dot {\phi }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}$ ${\bar {\phi }}={\frac {(1-2M/r)\ L}{E\ r^{2}}}$ ${\dot {t}}={\frac {E}{m\ (1-2M/r)}}$ ${\bar {\tau }}=1/{\dot {t}}={\frac {m\ (1-2M/r)}{E}}$ Die Form bezüglich der Koordinatenzeit kommt vor allem bei der Betrachtung masseloser Teilchen wie Photonen zum Einsatz, da diese keine Eigenzeit besitzen. Um die Bahn über den Ereignishorizont hinaus bis zur zentralen Singularität fortzusetzen, ist nur die Form bezüglich der Eigenzeit geeignet, da die Koordinatenzeit bei $r=2M$ divergiert. Für masselose Teilchen ohne Eigenzeit wird dazu der Grenzwert $\lim _{v\to c}$ betrachtet.	Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen - Erhaltungsgrößen Auch in der relativistischen Betrachtung vereinfacht sich die Diskussion der Bewegungsgleichungen wesentlich durch Ausnutzung der vorhandenen Symmetrien. Die Kugelsymmetrie (3 raumartige Killingfelder) impliziert die Erhaltung des spezifischen Drehimpulses ($L={\text{const.}}$), das zeitartige Killingfeld die Erhaltung der spezifischen Energie ($E={\text{const.}}$). Mit Hilfe der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$ und Ihren Komponenten $v_{\parallel }$ und $v_{\perp }$ (s.o.) lassen sich die Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) Gesamtenergie $E$ und Drehimpuls $L$ ausdrücken: Teilchen mit Masse Teilchen ohne Masse $L=$ ${\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}v_{\perp }r$ $hfv_{\perp }r$ $E=$ ${\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {2M}{r}}}}$ $hf{\sqrt {1-{\frac {2M}{r}}}}$ $h$ steht hier für das Plancksche Wirkungsquantum und $f$ für die Frequenz. Die Bewegungsgleichungen werden mit dem Term $\xi :={\sqrt {{\frac {E^{2}\ r^{4}}{L^{2}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left({\frac {m^{2}\ r^{4}}{L^{2}}}+r^{2}\right)}}$ als Funktion der Erhaltungsgrößen und der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$ zu: [...]
Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen - Shapiro-Verzögerung Die Komponenten $\nu _{\perp }$ und $\nu _{\parallel }$ der shapiroverzögerten Geschwindigkeit $\nu$ im System des stationären Koordinatenbuchhalters sind: $\nu _{\perp }=v_{\perp }{\sqrt {1-2M/r}}$ $\nu _{\parallel }=v_{\parallel }(1-2M/r)$ Die radiale Komponente enthält das Quadrat des Wurzelterms, da zusätzlich zur gravitativen Zeitdilatation noch eine radiale Längenkontraktion von ebenfalls ${\sqrt {1-2M/r}}$ auftritt.	keine Entsprechung, da nach oben verschoben
Innere Lösung - Linienelement: Unter den obigen Bedingungen ist das Linienelement in Kugelkoordinaten $\mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{g}^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\right)^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi ^{2}$ eine strenge Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. ${\mathcal {R}}$ ist eine Konstante und $r_{g}$ der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.	Innere Lösung - Linienelement: Für ein statisches, ideales Fluid mit konstanter Dichte $\rho _{0}$ im inneren Bereich $\textstyle r<r_{\mathrm {g} }$ des stellaren Objekts, erhält man für das Linienelement $\mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r_{g}}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}r^{2}}{r_{g}^{3}}}}}\right)^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}r^{2}}{r_{g}^{3}}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi ^{2}$ eine strenge Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. $r_{\mathrm {g} }$ ist der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.
Innere Lösung - Geometrische Deutung Die von Einstein in die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden legen es nahe, auch das obige Linienelement geometrisch zu deuten. Durch die Substitution $r={\mathcal {R}}\sin \,\eta ,\ r_{g}={\mathcal {R}}\sin \,\eta _{g},\ \mathrm {d} t=2{\mathcal {R}}\ \mathrm {d} \psi$ erhält man $\mathrm {d} s^{2}={\mathcal {R}}^{2}\mathrm {d} \eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}\eta \,\mathrm {d} \theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}\eta \,\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \,\eta _{g}-{\mathcal {R}}\cos \,\eta \right)^{2}\mathrm {d} \psi ^{2}$ woraus ersichtlich ist, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius ${\mathcal {R}}$ und mit dem Öffnungswinkel $\eta _{g}$ ist.	Innere Lösung - Geometrische Deutung Die von Einstein in die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden legen es nahe, auch das obige Linienelement geometrisch zu deuten. Durch die Koordinatentransformation $r={\mathcal {R}}\sin \eta ,\qquad \mathrm {d} t=2{\mathcal {R}}\ \mathrm {d} \psi ,\qquad r_{\mathrm {g} }={\mathcal {R}}\sin \eta _{\mathrm {g} }$ erhält man $\mathrm {d} s^{2}={\mathcal {R}}^{2}\mathrm {d} \eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\mathrm {d} \theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \eta _{\mathrm {g} }-{\mathcal {R}}\cos \eta \right)^{2}\mathrm {d} \psi ^{2}$. Dadurch wird ersichtlich, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius ${\mathcal {R}}$ und mit dem Öffnungswinkel $\eta _{\mathrm {g} }$ ist.
Erhaltungssatz : Den Energie-Impulstensor der Materie berechnet man aus den Feldgleichungen. Er hat die Form $T_{mn}={\begin{pmatrix}-p&&&\\&-p&&\\&&-p&\\&&&\mu _{0}\end{pmatrix}}$.	Erhaltungssatz : Der Energie-Impulstensor für eine homogene kugelsymmetrische Masseverteilung mit der konstanten Dichte $\rho$ ist $T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}\rho (1-2M/r)&0&0&0\\0&p/(1-2M/r)&0&0\\0&0&pr^{2}&0\\0&0&0&pr^{2}\sin ^{2}(\theta )\end{array}}\right).$
	Erhaltungssatz (konkurrierender Änderungsvorschlag): Der Energie-Impulstensor des idealen, statischen Fluids hat in kartesischen Koordinaten die Form $(T_{\mu \nu })={\begin{pmatrix}c^{2}\rho _{0}&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{pmatrix}}$.
Erhaltungssatz: Der hydrostatische Druck $p={1 \over \kappa }{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{g}}{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }},\quad \kappa =8\pi G/c^{2}$ mit der Gravitationskonstante $G$, nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel $\eta _{g}$ der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können auch keine schwarzen Löcher beschrieben werden.	Der hydrostatische Druck $p={1 \over \kappa }{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{\mathrm {g} }}{3\cos \eta _{\mathrm {g} }-\cos \eta }},\qquad \kappa =8\pi G/c^{2}$ nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel $\eta _{\mathrm {g} }$ der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können daher keine schwarzen Löcher beschrieben werden.
Erhaltungssatz: Die Energiedichte $\mu _{0}={\frac {1}{\kappa }}{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}$ entspricht bis auf einen Faktor $c^{2}$ der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Druck und Energiedichte sind kovariant erhalten. In $T_{m\ ||n}^{\ n}=0$ bedeutet der Doppelstrich die kovariante Ableitung in der Vierbeindarstellung. Aus dem einfachen Aufbau von $T_{mn}$ erhält man $p_{||m}=\left(p+\mu _{0}\right)E_{m},\quad {\dot {p}}=0,\quad {\dot {\mu }}_{0}=0$.	Erhaltungssatz: Die Energiedichte $c^{2}\rho _{0}={\frac {1}{\kappa }}{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}$ entspricht bis auf den Faktor $c^{2}$ der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Mit der Kontinuitätsgleichung $\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$ wobei $\nabla$ für die kovariante Ableitung steht, lässt sich zeigen, dass Druck und Energiedichte kovariant erhalten sind. Aus dem Aufbau von $T_{\mu \nu }$ erhält man $\nabla _{\mu }p=\left(p+c^{2}\rho _{0}\right)E_{\mu },\qquad {\dot {p}}=0,\qquad {\dot {\rho }}_{0}=0$.
Erhaltungssatz: Die Druckzunahme nach innen ist durch die Schwerewirkung des Gravitationsfeldes $E_{m}=\left\{-{\frac {1}{\mathcal {R}}}{\frac {\sin \eta }{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }},0,0,0\right\}$ bestimmt. Druck und Energiedichte sind zeitlich konstant. Der Energie-Impulstensor ist geometrischer Natur. Die oben angeführten Ausdrücke für den Druck und die Energiedichte leiten sich aus den verallgemeinerten zweiten Fundamentalformen der Flächentheorie her, die Einstein'schen Feldgleichungen aus den Gaußschen Gleichungen und der Erhaltungssatz aus den Mainardi-Codazzi-Gleichungen. Die innere Schwarzschild-Lösung kann als erster und sehr einfacher Versuch der Geometrisierung der Materie angesehen werden.	Erhaltungssatz: Die Druckzunahme nach innen ist durch die Schwerewirkung des Gravitationsfeldes $(E_{\mu })=\left(-{\frac {1}{\mathcal {R}}}{\frac {\sin \eta }{3\cos \eta _{\mathrm {g} }-\cos \eta }},0,0,0\right)$ bestimmt. Druck und Energiedichte sind zeitlich konstant. Die innere Schwarzschild-Lösung ist daher ein Versuch der Geometrisierung der Materie.
	Koordinatensysteme Das Linienelement in einer Schwarzschild-Karte für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit hat allgemein die Form $\mathrm {d} s^{2}=-f(r)^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+g(r)^{2}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ,$ und das für eine isotrope Karte einer statischen, kugelsymmetrischen Raumzeit $\mathrm {d} s^{2}=-f(r)^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+h(r)^{2}\left(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega \right),$ mit dem Raumwinkelelement $\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \phi ^{2}$ und den Koordinaten $-\infty <t<\infty ,\quad r_{1}<r<r_{2},\quad 0<\theta <\pi ,\quad -\pi <\phi <\pi$ Dabei sind $f,g$ und $h$ beliebige Funktionen der radialen Koordinate $r$. Neben den Schwarzschild-Koordinaten gibt es daher eine Reihe weiterer Koordinatensysteme, die bei der Untersuchung unterschiedlicher Aspekte der Schwarzschild-Lösung vorteilhaft sind. Koordinaten Linienelement Bemerkung Eigenschaften Schwarzschild $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ Flächen mit konstanter Zeit und Radius sind Kugeln (passende Krümmung und Fläche) Eddington–Finkelstein (einlaufend) $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} v^{2}+2\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} r+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $\textstyle v=t+\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$, in die Zukunft erweitert Eddington–Finkelstein (auslaufend) $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} u^{2}-2\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} r+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $\textstyle u=t-\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$, in die Vergangenheit erweitert Gullstrand–Painlevé $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} t_{\mathrm {r} }^{2}+2{\sqrt {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}\,\mathrm {d} t_{\mathrm {r} }\,\mathrm {d} r+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $\textstyle t_{\mathrm {r} }=t+2{\sqrt {rr_{\rm {s}}}}-r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+1}{{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-1}}\right|$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$ Isotrop (Kugel) $\textstyle -\left({\frac {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}{1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}}\right)^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}\right)^{4}\left(\mathrm {d} \rho ^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)$ $r=\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}\right)^{2}\rho$ Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop Isotrop (Kartesisch) $\textstyle -\left({\frac {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}{1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}}\right)^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}\right)^{4}\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}\right)$ $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop Kruskal-Szekeres $-{\frac {4r_{\rm {s}}^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}\,\left(\mathrm {d} T^{2}-\mathrm {d} R^{2}\right)+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)e^{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$, auf die gesamte Raumzeit erweitert Lemaître $-\mathrm {d} T_{\mathrm {l} }^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\,\mathrm {d} R_{\mathrm {l} }^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $r=\left({\tfrac {3}{2}}(R_{\mathrm {l} }-T_{\mathrm {l} })\right)^{\frac {2}{3}}r_{\rm {s}}^{\frac {1}{3}}$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$
Verallgemeinerungen zu anderen Metriken Unter Hinzunahme zusätzlicher physikalischer Phänomene wie elektrischer Ladung, Drehimpuls oder Extradimensionen gibt es wohlbekannte exakte Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen. Dies sind im Einzelnen die Kerr-Metrik bei Hinzunahme von Drehimpuls, die eine Vakuumlösung rotierender, aber ungeladener schwarzer Löcher darstellen. Betrachtet man hingegen weiterhin statische (verschwindender Drehimpuls), aber dafür elektrisch geladene schwarze Löcher, erhält man als exakte Lösung die Reissner-Nordström-Metrik. Die Kerr-Newman-Metrik ist eine exakte Lösung für sowohl rotierende als auch elektrisch geladene schwarze Löcher in vier Dimensionen. Die einfachste exakte Lösung Schwarzschild-artiger schwarzer Löcher in $n$ (räumlichen) Extradimensionen (sodass insgesamt $D=4+n$ Dimensionen verwendet werden) ist die Schwarzschild-Tangherlini-Metrik. Sie stellt ebenfalls die Lösung des elektrisch neutralen statischen Problems dar.	Verallgemeinerungen zu anderen Metriken Die Schwarzschild-Metrik lässt sich durch Hinzunahme weiterer Phänomene wie elektrischer Ladung, Drehimpuls oder Extradimensionen verallgemeinern. Eine exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für die Hinzunahme von Drehimpuls ist die Kerr-Metrik, die eine Vakuumlösung rotierender, aber ungeladener schwarzer Löcher darstellt. Betrachtet man weiterhin statische (verschwindender Drehimpuls), aber elektrisch geladene schwarze Löcher, erhält man als exakte Lösung die Reissner-Nordström-Metrik. Die Kerr-Newman-Metrik ist eine exakte Lösung für sowohl rotierende als auch elektrisch geladene schwarze Löcher in vier Dimensionen. Die einfachste exakte Lösung Schwarzschild-artiger schwarzer Löcher in $n$ (räumlichen) Extradimensionen (sodass insgesamt $D=4+n$ Dimensionen verwendet werden) ist die Schwarzschild-Tangherlini-Metrik. Sie stellt ebenfalls die Lösung des elektrisch neutralen, statischen Problems dar.
Abschnittsname: Hier den zu ändernden Text mit etwas Kontext eintragen	Hier den Alternativvorschlag zur Diskussion eintragen.

Quellen (Bitte hier mit name-Tag angeben und oben nur benutzen.)

Begründungen

1. Typografie: Wikipedia:Richtlinien_Physik#Subscripte beschreibt ausdrücklich, dass Subskripte, die keine physikalische Größe benennen nicht kursiv zu setzen sind. Daher ist durchgängig $r_{\rm {S}}$ bzw. aus ästehthischen Gründen $r_{\rm {s}}$ oder $r_{\mathrm {s} }$ zu benutzen. Aus Gründen der Artikellänge wäre <math>r_{\rm s}</math> die bevorzugte Schreibweise. Bitte bei zukünftigen Änderungen einpflegen.--Alturand (Diskussion) 20:20, 16. Mär. 2017 (CET)
2. Äußere Lösung - Geometrische Deutung: "Häufig" passt schon, denn es es gibt ja auch noch andere Ereignishorizonte die nicht am Schwarzschikdradius liegen, siehe z.B. den EH eines rotierenden SL oder den kosmischen EH. Streiche man "häufig" ersatzlos impliziert man "immer", man könnte alternativ dazu "in diesem Kontext" schreiben. --  ❇ (Diskussion) 20:26, 15. Mär. 2017 (CET)
3. Innere Lösung - Linienelement: Selbstverständlich gehört die korrekte und mit zwei Referenzen belegte Version aus der rechten Spalte wiederhergestellt. --  ❇ (Diskussion) 23:59, 5. Mär. 2017 (CET)
4. Äußere Lösung - Linienelement, rechte Spalte: Hinweis von Debenben aufgegriffen und die Konstante $A$ durch $E$ für die spezifische Gesamtenergie und die Konstante $B$ durch $L$ für den spezifischen Drehimpuls ersetzt. --83dot68 (Diskussion) 12:29, 13. Mär. 2017 (CET)

Diskussion

Das aktuelle Thema lautet

Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen:  Bestätigung der Reihenfolge der Abschnitte (wird diskutiert bis 26.4.)

Bitte unbedingt Quellen gemäß WP:Q angeben! 200 Wortgrenze beachten! Ein Thema zu einer Zeit! Eigene Beiträge aufräumen! Finger weg von fremden Beiträgen!

• Benutzer:Alturand:
• Letzte Chance! zur Änderungen der Reihenfolge: Morgen abend meißeln wir die Reihenfolge in Stein und diskutieren dann nur noch kosmetische Änderungen oder solche zur Allgemeinverständlichkeit im den rechten Spalten: Abschnitt "Äußere Lösung", bevor das in den Artikel geht. Änderungswünsche (nicht ~vorschläge) dazu bitte jetzt schon im Kühlschrank einstellen! --Alturand (Diskussion) 22:00, 25. Apr. 2017 (CEST)
• Benutzer:FranzR: Hallo Alturand! Nein: Das $:=$ war kein „typo“, sondern Absicht. Es ist auch mittlerweile nicht mehr „im Artikel korrigiert“, weil ich die durch Deinen Editunfall (vermutlich unbeabsichtigtes c&p?) zerschossene Darstellung mit diese Rücksetzung korrigiert habe. Dabei ist auch (unbemerkt) der Doppelpunkt wieder reingekommen. Ich will und werde darum natürlich keinen Edit-War führen, verweise aber auf Gleichheitszeichen#Das Gleichheitszeichen und seine Abwandlungen, wo dieses Doppelzeichen kurz beschrieben wird. Der fragliche Satzanfang „Mit dem Term $\xi :=\dots$“ dient der Einführung einer Abkürzung (eines Kurznamens) für den (hier durch die Pünktchen nur angedeuteten) Term rechts des Gleichheitszeichens, damit die anschließende Tabelle übersichtlich bleibt. In solchen Fällen ist es durchaus üblich, die Gleichheit als definitorische zu kennzeichnen, indem man dem Gleichheitszeichen auf der Seite des zu definierenden Zeichens (hier also des Namens $\xi$ für den rechtsseitigen Term) einen Doppelpunkt hinzufügt. Anders als Yukterez plädiere ich daher für eine Beibehaltung der Markierung, die auf den ersten Blick klarstellt, daß es sich bei $\xi$ nur um eine Abkürzung handelt. Liebe Grüße, Franz 16:07, 15. Apr. 2017 (CEST)
• Benutzer:Yukterez:

Die aktuelle Reihenfolge in der rechten Spalte ist in Ordnung. Ein paar Typos waren noch drin, und im Inlinetext habe ich die Brüche einzeilig gemacht damit der Zeilenabstand nicht verhaut wird.

--  ❇ (Diskussion) 18:51, 22. Apr. 2017 (CEST)

Karl Hilpolts (83dot68, Doppeldoktor, Abteilungsleitung & Co) Behauptung dass v nicht frei gewählt werden kann ist natürlich Unfug, v kann alles von 0 bis lim v→c sein (warum sollte das auch anders sein). Und zu seiner Behauptung dass sich das t' nicht aus den Quellen ergäbe kann man eigentlich nur noch "Der häufigste und schwerste Fehler beim Anfertigen wissenschaftlicher Arbeiten liegt darin, dass der Student keine oder kaum Rechenschaft darüber ablegt, warum er ein Thema behandelt und wie er sich die Behandlung vorstellt. Sehr oft bleiben Arbeiten deskriptiv. Sie reihen Zitate aneinander und erreichen nie die Ebene der Analyse und Thesenbildung. Sie müssen lernen, Stoff zu ordnen und wissenschaftlich zu beurteilen. Das können Sie aber nur, wenn Sie das nötige Grundwissen an Fakten und Methoden haben. Sie dürfen ein Thema nicht sezieren, sondern müssen es analysieren" sagen.

--  ❇ (Diskussion) 19:14, 22. Apr. 2017 (CEST)

@ Hilpolt, wenn du https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Redaktion_Physik/Qualit%C3%A4tssicherung/Schwarzschild-Metrik&diff=164915716&oldid=164820460 deine Fragen] dort stellt wo sie hingehören bekommst du auch eine Antwort, aber wenn du sie schon wieder unsignigniert in meine Spalte schreibst werte ich das als Trollerei.

--  ❇ (Diskussion) 00:29, 26. Apr. 2017 (CEST)

• Karl Hilpolt: Ich würde gerne den Lagrange-Formalismus einarbeiten. Dann lassen sich einige Aspekte gut erklären wie z.B. die Erhaltungsgrößen, der affine Parameter $\lambda$ für die Parametrisierung der Geodäten $x^{\alpha }(\lambda )$, der Vergleich klassischer Teilchenbahnen mit relativistischen, Stabilität von Teilchenbahnen u.e.m. --Karl Hilpolt (Diskussion) 10:17, 13. Apr. 2017 (CEST)

@Alturand: Danke! Ich werde mich ranhalten. --Karl Hilpolt (Diskussion) 19:35, 13. Apr. 2017 (CEST)

@Alturand: Auslagerung wie gewünscht erledigt. Die Bewegungsgleichungen habe ich stehen lassen, weil ich sie in der Form besser verständlich finde. Vor allem der Zusammenhang zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit ${\dot {t}}=k\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}$ (Referenz siehe oben) ist viel klarer als der aktuelle Entwurf ${\dot {t}}={\sqrt {\frac {1}{\underbrace {(1-2M/r)} _{\text{gravitativ}}\underbrace {(1-v^{2})} _{\text{kinematisch}}}}}={\sqrt {\frac {1+r\ {\dot {r}}^{2}/(r-2M)+r^{2}\ {\dot {\phi }}^{2}}{1-2M/r}}}$. Der aktuelle Entwurf vermittelt den Eindruck, dass $v$ unabhängig gewählt werden kann. Das stimmt für ein kräftefrei bewegtes Teilchen das einer zeitartigen Geodäte folgt nicht: $(1-v^{2})=(1-2M/r)/k^{2}$. Außerdem fehlt für den aktuellen Entwurf die Quelle. --Karl Hilpolt (Diskussion) 17:23, 22. Apr. 2017 (CEST)

• 83dot68
• Benutzer:Blaues-Monsterle
• B wik
• Debenben

Der Kühlschrank

(mit Themen, die wir später noch mal aufwärmen und diskutieren müssen)

1. Vielleicht sollte man nochmal darüber nachdenken, die Schwarzschild-Koordinaten mit ihren Christoffelsymbolen in einen eigenen Artikel auszulagern und den Artikel über die Metrik und Eigenschaften der Metrik an sich zu schreiben. Überspitzt gesagt: Für jemanden, der in ein schwarzes Loch fliegt, ist der Artikel unverständlich. Der fliegt über den Schwarzschild-Radius und es passiert rein garnichts. Wenn man ihm Schwarzschild-Koordinaten aufdrückt, wüsste er nicht, was $t$ usw. sein soll. Der wählt keine Koordinaten, die ohne Grund singulär werden und nicht bis an seinen Ereignishorizont reichen, wenn er die Einsteingleichungen löst.--Debenben (Diskussion) 23:39, 6. Mär. 2017 (CET)
2. Ich finde nicht, dass der Abschnitt zu den Christoffelsymbolen jetzt besser ist. "Bewegungsgleichungen" sind eigentlich ehr die Euler-Lagrange-Gleichungen, das Wort kommt aus dem Abschnitt, in dem es um das frei fallende Testteilchen geht. Es war nicht mein Vorschlag, $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}$ oder die äquivalente Formulierung mit Christoffelsymbolen in den Artikel zu schreiben. ${\dot {t}}$ und ${\ddot {\phi }}$ im Artikel lassen sich z.B. herleiten ohne explizit Christoffel-Symbole zu benutzen… --Debenben (Diskussion) 21:32, 12. Mär. 2017 (CET)
3. Unterabschnitt: Euler-Lagrange-Gleichungen - Status siehe Benutzer:Karl Hilpolt/Schwarzschild-Metrik mit Euler-Lagrange-Gleichungen. Nach Fertigmeldung von Karl Hilpolt Wiedervorlage hier oder auf der Artikeldisk.
4. Änderungswünsche: Äußere Lösung

1. Den Stationären Koordinatenbuchhalter sollten wir noch erklären/verlinken.-- Alturand (Diskussion) 19:42, 20. Apr. 2017 (CEST)

Offtopic (bitte einrücken und signieren)

Dieser Abschnitt dient ausdrücklich NICHT dazu, die 200-Wort-Grenze de obigen Diskussion zu umgehen und hier mehrere Diskussionen parallel zu führen! "Nur EIN Thema zu einer Zeit!", aber bitte oben innerhalb der 200-Wort-Grenze. -- Alturand (Diskussion) 07:51, 5. Mär. 2017 (CET) -- Alturand (Diskussion) 18:22, 13. Apr. 2017 (CEST)

@ Hilpolt und Co, was genau ist an dem Satz "Finger weg von fremden Beiträgen" so schwer zu verstehen? Arbeite lieber daran deinen eigenen Vorschlag gebacken zu bekommen anstatt den meinen zu sabotieren so wie hier⇲ und hier⇲ oder hier⇲! Deine Rechtfertigung sieht mir auch eher nach einer Schutzbehauptung aus, zumal 2 von 3 meiner Vorschläge die du wegen angeblicher Unbelegtheit gelöscht hast sehr wohl anhand der zugewiesenen Refenzen belegt sind, und die 3te sich einerseits schon aus dem bereits Gesagten ergab, und mitterweile auch schon referenziert ist (das steht in etwas anderer Nomenklatur im Kapitel 9 von ASTR498, während Kapitel 10 davon bereits direkt verlinkt war). Zudem sind unbelegte Stellen zu diskutieren oder in gröberen Fällen mit einem Belegebaustein zu markieren, nicht einfach zu löschen - schon gar nicht bei der Vorgeschichte, und erst recht nicht in noch dazu moderierten Diskussionsbeiträgen oder der Spalte eines anderen Benutzers wenn man selber eine eigene hat!

Auf deiner Diskussionsseite rechtfertigst du deine Tat ja mit "WP:Q". Dort steht aber nichts worauf du dich berufen kannst:

"Wer Aussagen bemerkt, die ohne Beleg nicht stehenbleiben sollten, kann darauf auf der Diskussionsseite hinweisen. In gravierenden Fällen kann man Leser und Autoren durch Einfügen von {Belege fehlen} darauf hinweisen. Wenn mehrere Absätze Anlass zu solchen Zweifeln geben, kann der ganze Artikel markiert werden. Auf der Diskussionsseite sollte man erklären, welche Aussagen belegt werden müssten. Noch besser ist es, selbst nach Belegen zu suchen und diese dann zu ergänzen. Beim nachträglichen Einfügen von Belegen kommt es nicht darauf an, nachzuvollziehen, aus welchen Fundstellen der ursprüngliche Autor einer Passage geschöpft hat, sondern nur darauf, sie inhaltlich zu bestätigen. Unbelegte Aussagen können und sollten sofort aus einem Artikel entfernt werden, wenn sie Schaden anrichten können (etwa Negatives zu einer noch lebenden Person (WP:BIO beachten) oder dubiose Aussagen in medizinischen Artikeln). Die Löschung sollte im Bearbeitungskommentar oder auf der Diskussionsseite kommentiert werden."

Die Tatsache dass du den Link zu diesen Regeln in feinstem Wikisprech verlinken konntest lässt darauf schließen dass du die Regeln kennst und dich nicht auf Unwissenheit berufen kannst. Da es sich bei dem von dir gelöschten Diskussionsbeitrag jedoch nicht um etwas das in die Kategorie

"Unbelegte Aussagen können und sollten sofort aus einem Artikel entfernt werden, wenn sie Schaden anrichten können (etwa Negatives zu einer noch lebenden Person (WP:BIO beachten) oder dubiose Aussagen in medizinischen Artikeln). Die Löschung sollte im Bearbeitungskommentar oder auf der Diskussionsseite kommentiert werden."

fällt handelt, und du zuvor auch schon auf deiner Diskussionsseite und in der hiesigen Intro die da lautet "Finger weg von fremden Beiträgen" darauf hingewiesen wurdest dass deine eigenen Vorschläge nicht besser werden wenn du meine sabotierst bitte ich Alturand dein Verhalten auf der Vandalismus-Seite zu melden (selber kann ich das leider nicht tun, da in einem moderierten Artikel der Moderator für so was zuständig ist). Dein Kollege ist mit so einem Verhalten ja leider noch davongekommen, aber was genug ist ist genug.

Anklage erhebend, --  ❇ (Diskussion) 20:25, 17. Apr. 2017 (CEST)