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Schwarzschild-Metrik

(Forts. nach manueller Auslagerung auf Unerledigt/2017)

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Aktueller Text	Alternativvorschlag
Äußere Lösung - Geometrische Deutung: Die beim Schwarzschild-Radius befindliche Grenzfläche nennt man den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff auch häufig als Synonym für den Schwarzschild-Radius verwendet wird.	Äußere Lösung - Geometrische Deutung: Die beim Schwarzschild-Radius befindliche Grenzfläche nennt man den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff auch häufig als Synonym für den Schwarzschild-Radius verwendet wird.
Äußere Lösung - Geodäten und Christoffel-Symbole Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus der Geodätengleichung $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$, die sich mit den Christoffel-Symbolen $\Gamma _{ij}^{m}$ kurz als ${\ddot {x}}^{m}+\Gamma _{ij}^{m}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}=0$ schreiben lässt. Die von 0 verschiedenen Christoffel-Symbole sind in Schwarzschild-Koordinaten und den oben genannten natürlichen Einheiten ($G=c=1,r_{\rm {s}}=2M$): ${\begin{array}{l}\mathbf {t} :\\\Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {M}{r(r-2M)}}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}\mathbf {r} :\\\Gamma _{rr}^{r}=-{\frac {M}{r(r-2M)}}\\\Gamma _{tt}^{r}={\frac {M(r-2M)}{r^{3}}}\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}=-\sin ^{2}(\theta )(r-2M)\\\Gamma _{\theta \theta }^{r}=-(r-2M)\end{array}}$ ${\begin{array}{l}\mathbf {\theta } :\\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r}}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-\sin(\theta )\cos(\theta )\end{array}}$ ${\begin{array}{l}\mathbf {\phi } :\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r}}\\\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\cot(\theta )\end{array}}$	Äußere Lösung - Geodäten und Christoffel-Symbole …
Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen Mithilfe der Geodätengleichung erhält man die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen unter dem Einfluss der Masse. In Schwarzschildkoordinaten mit den Einheiten $G=c=1,\ r_{\rm {s}}=2M$ gelten ohne Beschränkung der Allgemeinheit in der $r,\phi$-Ebene die Bewegungsgleichungen mit Ableitungen bzgl. der Eigenzeit $\tau$ des Teilchens: ${\ddot {\phi }}=-{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\phi }}$ ${\ddot {r}}={\frac {M}{r(r-2M)}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {M(r-2M)}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}+(r-2M){\dot {\phi }}^{2}$ sowie für die zweite Ableitung der Koordinatenzeit $t$ nach der Eigenzeit: ${\ddot {t}}=-2{\frac {M}{r(r-2M)}}{\dot {r}}{\dot {t}}$ Lösung für Raumkoordinaten Nach Entkopplung der Differentialgleichungen für $\textstyle {\ddot {r}}$ von $\textstyle {\dot {r}}$ und $\textstyle {\dot {t}}$ ergibt sich: ${\ddot {r}}=\underbrace {-{\frac {M}{r^{2}}}+r{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{klass. Term}}\underbrace {-3M{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{relativistischer Term}}$ Diese Bewegungsgleichungen unterscheiden sich von den klassischen Gleichungen nach Newton durch den zusätzlichen Term in der Gleichung für die radiale Komponente. Dieser bewirkt, dass sich Teilchen mit Ausnahme des Falls, in dem die Umlaufgeschwindigkeit die exakte Kreisbahngeschwindigkeit ist, nicht auf geschlossenen Bahnen um das stellare Objekt bewegen: Bei Entfernungen $\textstyle r>3M$ ist der Betrag des Terms $\textstyle (r-3M){\dot {\phi }}^{2}$ gegenüber der klassischen Physik vermindert. Dadurch ist die Krümmung der Bahn abseits der exakten Kreisbahn bei $\textstyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{2}(r-3M)}}$ stärker als bei einer Ellipsenbahn und die Bahn schließt sich nicht nach einem Umlauf. Dieser Effekt ist bei Untersuchungen der Periheldrehung der Merkurbahn experimentell bestätigt worden. Bei Entfernungen $\textstyle r<3M$ hat der Term $\textstyle (r-3M){\dot {\phi }}^{2}$ gegenüber der klassischen Physik ein umgekehrtes Vorzeichen. Anschaulich gesehen wirkt somit in diesem Bereich die Zentrifugalkraft anziehend statt abstoßend. Bahnen, die in den Bereich von 1,5 Schwarzschild-Radien um die Masse herum eindringen, führen demzufolge dazu, dass das Teilchen unmittelbar in die Masse sürzt. Zusammenhang von Eigenzeit und Koordinatenzeit Für zeitartige Geodäten, also massebehaftete Teilchen, ist das Betragsquadrat der Vierergeschwindigkeit $-1$, woraus sich für die Ableitung der Koordinatenzeit nach der Eigenzeit ${\rm {d}}t/{\rm {d}}\tau$ ergibt: ${\dot {t}}={\sqrt {\frac {1}{(1-2M/r)(1-v^{2})}}}={\sqrt {\frac {1+r\ {\dot {r}}^{2}/(r-2M)+r^{2}\ {\dot {\phi }}^{2}}{1-2M/r}}}$ $v$ ist hier die lokale 3er-Geschwindigkeit. Im Nenner des mittleren Terms steht links der gravitative und rechts der kinematische Teil der Zeitdilatation. Erhaltungsgrößen Mit Hilfe der radialen ($v_{\parallel }$) und tangentialen ($v_{\perp }$) Komponente der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$ lassen sich die Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) Gesamtenergie $E$ und Drehimpuls $L$ ausdrücken: Teilchen mit Masse Teilchen ohne Masse $L=$ ${\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}v_{\perp }r$ $hfv_{\perp }r$ $E=$ ${\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {2M}{r}}}}$ $hf{\sqrt {1-{\frac {2M}{r}}}}$ $h$ steht hier für das Plancksche Wirkungsquantum und $f$ für die Frequenz. Mit dem Term $\xi :={\sqrt {{\frac {E^{2}\ r^{4}}{L^{2}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left({\frac {m^{2}\ r^{4}}{L^{2}}}+r^{2}\right)}}$ werden die Bewegungsgleichungen als Funktion der Erhaltungsgrößen bzw. der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$: bezüglich der Eigenzeit $\tau$: als Funktion von $v$: bezüglich der Koordinatenzeit $t$: ${\dot {r}}={\dot {\phi }}\ \xi$ ${\dot {r}}=v_{\parallel }{\sqrt {\frac {1-2M/r}{1-v^{2}}}}$ ${\bar {r}}={\bar {\phi }}\ \xi$ ${\dot {\phi }}={\frac {L}{m\ r^{2}}}$ ${\dot {\phi }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}$ ${\bar {\phi }}={\frac {(1-2M/r)\ L}{E\ r^{2}}}$ ${\dot {t}}={\frac {E}{m\ (1-2M/r)}}$ ${\bar {\tau }}=1/{\dot {t}}={\frac {m\ (1-2M/r)}{E}}$ Die Form bezüglich der Koordinatenzeit kommt vor allem bei der Betrachtung masseloser Teilchen wie Photonen zum Einsatz, da diese keine Eigenzeit besitzen. Um die Bahn über den Ereignishorizont hinaus bis zur zentralen Singularität fortzusetzen, ist nur die Form bezüglich der Eigenzeit geeignet, da die Koordinatenzeit bei $r=2M$ divergiert. Für masselose Teilchen ohne Eigenzeit wird dazu der Grenzwert $\lim _{v\to c}$ betrachtet. Die Komponenten $\nu _{\perp }$ und $\nu _{\parallel }$ der shapiroverzögerten Geschwindigkeit $\nu$ im System des stationären Koordinatenbuchhalters sind: $\nu _{\perp }=v_{\perp }{\sqrt {1-2M/r}}$ $\nu _{\parallel }=v_{\parallel }(1-2M/r)$ Die radiale Komponente enthält das Quadrat des Wurzelterms, da zusätzlich zur gravitativen Zeitdilatation noch eine radiale Längenkontraktion von ebenfalls ${\sqrt {1-2M/r}}$ auftritt.	Äußere Lösung - Bewegungsgleichungen Die Diskussion der Bewegungsgleichungen vereinfacht sich wesentlich durch Ausnutzung der vorhandenen Symmetrien. Die Kugelsymmetrie (3 raumartige Killingfelder) impliziert Erhaltung des spezifischen Drehimpulses ($L={\text{const.}}$), das zeitartige Killingfeld die Erhaltung der spezifischen Energie ($E={\text{const.}}$). Auf Grund der Drehimpulserhaltung liegen die Bahnen in einer Ebene, senkrecht zum Pseudovektor des Drehimpulses. … ${\dot {t}}={\frac {\mathrm {E} }{(1-2M/r)}}$ ( Gl. 6.104) ${\dot {\phi }}={\frac {L}{r^{2}}}$ ( Gl. 6.103) mit den Integrationskonstanten $E$ (die spezifische Gesamtenergie) und $L$ (der spezifische Drehimpuls). Diese beiden Formeln können nun, zusammen mit der Bedingung ${\dot {\theta }}=0$, in die Gleichung für das Linienelement eingesetzt werden. Das ergibt für Testkörper mit einer Masse ungleich Null die folgende Gleichung: ${\dot {r}}=\pm {\sqrt {E^{2}-1+{\frac {2M}{r}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)r^{2}{\dot {\phi }}^{2}}}=\pm {\sqrt {E^{2}-1+{\frac {2M}{r}}-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}+\underbrace {{\frac {2M}{r}}{\frac {L^{2}}{r^{2}}}} _{\text{Zusatzterm ART}}}}$ ( Gl. 6.107 mit $\epsilon =1$) und für Teilchen mit einer verschwindenden Masse die Gleichung: ${\dot {r}}=\pm {\sqrt {E^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {L^{2}}{r^{2}}}}}$ ( Gl. 6.107 mit $\epsilon =0$) … Für die numerische Integration sind diese Gleichungen in der folgenden Form geeignet: ${\dot {t}}={\frac {E}{(1-2M/r)}}$ ${\dot {r}}=v_{r}$ ${\dot {v}}_{r}={\ddot {r}}=-{\frac {M}{r^{2}}}+{\frac {L^{2}}{r^{3}}}-{\frac {3ML^{2}}{r^{4}}}$ ${\dot {\phi }}={\frac {L}{r^{2}}}$ Die Integrationskonstanten $E,\,L$ für Teilchen mit $m\neq 0$ ergeben sich aus den Anfangsbedingungen $r(\tau =0)=r_{0},\,{\dot {r}}(\tau =0)={\dot {r}}_{0}$ und $\phi (\tau =0)=\phi _{0},\,{\dot {\phi }}(\tau =0)={\dot {\phi }}_{0}$ mit $E={\sqrt {1+{\dot {r}}_{0}^{2}-{\frac {2M}{r_{0}}}+\left(1-{\frac {2M}{r_{0}}}\right)r_{0}^{2}{\dot {\phi }}_{0}^{2}}}$ und $L=r_{0}^{2}{\dot {\phi }}_{0}$
Innere Lösung - Linienelement: Unter den obigen Bedingungen ist das Linienelement in Kugelkoordinaten $\mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{g}^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\right)^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi ^{2}$ eine strenge Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. ${\mathcal {R}}$ ist eine Konstante und $r_{g}$ der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.	Innere Lösung - Linienelement: Für ein statisches, ideales Fluid mit konstanter Dichte $\rho _{0}$ im inneren Bereich $\textstyle r<r_{\mathrm {g} }$ des stellaren Objekts, erhält man für das Linienelement $\mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r_{g}}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}r^{2}}{r_{g}^{3}}}}}\right)^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}r^{2}}{r_{g}^{3}}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi ^{2}$ eine strenge Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. $r_{\mathrm {g} }$ ist der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.
Innere Lösung - Geometrische Deutung Die von Einstein in die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden legen es nahe, auch das obige Linienelement geometrisch zu deuten. Durch die Substitution $r={\mathcal {R}}\sin \,\eta ,\ r_{g}={\mathcal {R}}\sin \,\eta _{g},\ \mathrm {d} t=2{\mathcal {R}}\ \mathrm {d} \psi$ erhält man $\mathrm {d} s^{2}={\mathcal {R}}^{2}\mathrm {d} \eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}\eta \,\mathrm {d} \theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}\eta \,\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \,\eta _{g}-{\mathcal {R}}\cos \,\eta \right)^{2}\mathrm {d} \psi ^{2}$ woraus ersichtlich ist, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius ${\mathcal {R}}$ und mit dem Öffnungswinkel $\eta _{g}$ ist.	Innere Lösung - Geometrische Deutung Die von Einstein in die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden legen es nahe, auch das obige Linienelement geometrisch zu deuten. Durch die Koordinatentransformation $r={\mathcal {R}}\sin \eta ,\qquad \mathrm {d} t=2{\mathcal {R}}\ \mathrm {d} \psi ,\qquad r_{\mathrm {g} }={\mathcal {R}}\sin \eta _{\mathrm {g} }$ erhält man $\mathrm {d} s^{2}={\mathcal {R}}^{2}\mathrm {d} \eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\mathrm {d} \theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \eta _{\mathrm {g} }-{\mathcal {R}}\cos \eta \right)^{2}\mathrm {d} \psi ^{2}$. Dadurch wird ersichtlich, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius ${\mathcal {R}}$ und mit dem Öffnungswinkel $\eta _{\mathrm {g} }$ ist.
Erhaltungssatz : Den Energie-Impulstensor der Materie berechnet man aus den Feldgleichungen. Er hat die Form $T_{mn}={\begin{pmatrix}-p&&&\\&-p&&\\&&-p&\\&&&\mu _{0}\end{pmatrix}}$.	Erhaltungssatz : Der Energie-Impulstensor für eine homogene kugelsymmetrische Masseverteilung mit der konstanten Dichte $\rho$ ist $T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}\rho (1-2M/r)&0&0&0\\0&p/(1-2M/r)&0&0\\0&0&pr^{2}&0\\0&0&0&pr^{2}\sin ^{2}(\theta )\end{array}}\right).$
	Erhaltungssatz (konkurrierender Änderungsvorschlag): Der Energie-Impulstensor des idealen, statischen Fluids hat in kartesischen Koordinaten die Form $(T_{\mu \nu })={\begin{pmatrix}c^{2}\rho _{0}&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{pmatrix}}$.
Erhaltungssatz: Der hydrostatische Druck $p={1 \over \kappa }{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{g}}{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }},\quad \kappa =8\pi G/c^{2}$ mit der Gravitationskonstante $G$, nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel $\eta _{g}$ der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können auch keine schwarzen Löcher beschrieben werden.	Der hydrostatische Druck $p={1 \over \kappa }{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{\mathrm {g} }}{3\cos \eta _{\mathrm {g} }-\cos \eta }},\qquad \kappa =8\pi G/c^{2}$ nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel $\eta _{\mathrm {g} }$ der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können daher keine schwarzen Löcher beschrieben werden.
Erhaltungssatz: Die Energiedichte $\mu _{0}={\frac {1}{\kappa }}{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}$ entspricht bis auf einen Faktor $c^{2}$ der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Druck und Energiedichte sind kovariant erhalten. In $T_{m\ ||n}^{\ n}=0$ bedeutet der Doppelstrich die kovariante Ableitung in der Vierbeindarstellung. Aus dem einfachen Aufbau von $T_{mn}$ erhält man $p_{||m}=\left(p+\mu _{0}\right)E_{m},\quad {\dot {p}}=0,\quad {\dot {\mu }}_{0}=0$.	Erhaltungssatz: Die Energiedichte $c^{2}\rho _{0}={\frac {1}{\kappa }}{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}$ entspricht bis auf den Faktor $c^{2}$ der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Mit der Kontinuitätsgleichung $\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$ wobei $\nabla$ für die kovariante Ableitung steht, lässt sich zeigen, dass Druck und Energiedichte kovariant erhalten sind. Aus dem Aufbau von $T_{\mu \nu }$ erhält man $\nabla _{\mu }p=\left(p+c^{2}\rho _{0}\right)E_{\mu },\qquad {\dot {p}}=0,\qquad {\dot {\rho }}_{0}=0$.
Erhaltungssatz: Die Druckzunahme nach innen ist durch die Schwerewirkung des Gravitationsfeldes $E_{m}=\left\{-{\frac {1}{\mathcal {R}}}{\frac {\sin \eta }{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }},0,0,0\right\}$ bestimmt. Druck und Energiedichte sind zeitlich konstant. Der Energie-Impulstensor ist geometrischer Natur. Die oben angeführten Ausdrücke für den Druck und die Energiedichte leiten sich aus den verallgemeinerten zweiten Fundamentalformen der Flächentheorie her, die Einstein'schen Feldgleichungen aus den Gaußschen Gleichungen und der Erhaltungssatz aus den Mainardi-Codazzi-Gleichungen. Die innere Schwarzschild-Lösung kann als erster und sehr einfacher Versuch der Geometrisierung der Materie angesehen werden.	Erhaltungssatz: Die Druckzunahme nach innen ist durch die Schwerewirkung des Gravitationsfeldes $(E_{\mu })=\left(-{\frac {1}{\mathcal {R}}}{\frac {\sin \eta }{3\cos \eta _{\mathrm {g} }-\cos \eta }},0,0,0\right)$ bestimmt. Druck und Energiedichte sind zeitlich konstant. Die innere Schwarzschild-Lösung ist daher ein Versuch der Geometrisierung der Materie.
	Koordinatensysteme Das Linienelement in einer Schwarzschild-Karte für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit hat allgemein die Form $\mathrm {d} s^{2}=-f(r)^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+g(r)^{2}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ,$ und das für eine isotrope Karte einer statischen, kugelsymmetrischen Raumzeit $\mathrm {d} s^{2}=-f(r)^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+h(r)^{2}\left(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega \right),$ mit dem Raumwinkelelement $\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \phi ^{2}$ und den Koordinaten $-\infty <t<\infty ,\quad r_{1}<r<r_{2},\quad 0<\theta <\pi ,\quad -\pi <\phi <\pi$ Dabei sind $f,g$ und $h$ beliebige Funktionen der radialen Koordinate $r$. Neben den Schwarzschild-Koordinaten gibt es daher eine Reihe weiterer Koordinatensysteme, die bei der Untersuchung unterschiedlicher Aspekte der Schwarzschild-Lösung vorteilhaft sind. Koordinaten Linienelement Bemerkung Eigenschaften Schwarzschild $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ Flächen mit konstanter Zeit und Radius sind Kugeln (passende Krümmung und Fläche) Eddington–Finkelstein (einlaufend) $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} v^{2}+2\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} r+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $\textstyle v=t+\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$, in die Zukunft erweitert Eddington–Finkelstein (auslaufend) $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} u^{2}-2\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} r+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $\textstyle u=t-\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$, in die Vergangenheit erweitert Gullstrand–Painlevé $-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} t_{\mathrm {r} }^{2}+2{\sqrt {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}\,\mathrm {d} t_{\mathrm {r} }\,\mathrm {d} r+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $\textstyle t_{\mathrm {r} }=t+2{\sqrt {rr_{\rm {s}}}}-r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+1}{{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-1}}\right|$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$ Isotrop (Kugel) $\textstyle -\left({\frac {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}{1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}}\right)^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}\right)^{4}\left(\mathrm {d} \rho ^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)$ $r=\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}\right)^{2}\rho$ Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop Isotrop (Kartesisch) $\textstyle -\left({\frac {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}{1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}}}\right)^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4\rho }}\right)^{4}\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}\right)$ $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop Kruskal-Szekeres $-{\frac {4r_{\rm {s}}^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}\,\left(\mathrm {d} T^{2}-\mathrm {d} R^{2}\right)+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)e^{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$, auf die gesamte Raumzeit erweitert Lemaître $-\mathrm {d} T_{\mathrm {l} }^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\,\mathrm {d} R_{\mathrm {l} }^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}$ $r=\left({\tfrac {3}{2}}(R_{\mathrm {l} }-T_{\mathrm {l} })\right)^{\frac {2}{3}}r_{\rm {s}}^{\frac {1}{3}}$ regulär bei $r=r_{\rm {s}}$
Verallgemeinerungen zu anderen Metriken Unter Hinzunahme zusätzlicher physikalischer Phänomene wie elektrischer Ladung, Drehimpuls oder Extradimensionen gibt es wohlbekannte exakte Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen. Dies sind im Einzelnen die Kerr-Metrik bei Hinzunahme von Drehimpuls, die eine Vakuumlösung rotierender, aber ungeladener schwarzer Löcher darstellen. Betrachtet man hingegen weiterhin statische (verschwindender Drehimpuls), aber dafür elektrisch geladene schwarze Löcher, erhält man als exakte Lösung die Reissner-Nordström-Metrik. Die Kerr-Newman-Metrik ist eine exakte Lösung für sowohl rotierende als auch elektrisch geladene schwarze Löcher in vier Dimensionen. Die einfachste exakte Lösung Schwarzschild-artiger schwarzer Löcher in $n$ (räumlichen) Extradimensionen (sodass insgesamt $D=4+n$ Dimensionen verwendet werden) ist die Schwarzschild-Tangherlini-Metrik. Sie stellt ebenfalls die Lösung des elektrisch neutralen statischen Problems dar.	Verallgemeinerungen zu anderen Metriken Die Schwarzschild-Metrik lässt sich durch Hinzunahme weiterer Phänomene wie elektrischer Ladung, Drehimpuls oder Extradimensionen verallgemeinern. Eine exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für die Hinzunahme von Drehimpuls ist die Kerr-Metrik, die eine Vakuumlösung rotierender, aber ungeladener schwarzer Löcher darstellt. Betrachtet man weiterhin statische (verschwindender Drehimpuls), aber elektrisch geladene schwarze Löcher, erhält man als exakte Lösung die Reissner-Nordström-Metrik. Die Kerr-Newman-Metrik ist eine exakte Lösung für sowohl rotierende als auch elektrisch geladene schwarze Löcher in vier Dimensionen. Die einfachste exakte Lösung Schwarzschild-artiger schwarzer Löcher in $n$ (räumlichen) Extradimensionen (sodass insgesamt $D=4+n$ Dimensionen verwendet werden) ist die Schwarzschild-Tangherlini-Metrik. Sie stellt ebenfalls die Lösung des elektrisch neutralen, statischen Problems dar.
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Quellen (Bitte hier mit name-Tag angeben und oben nur benutzen.)

Begründungen

1. Typografie: Wikipedia:Richtlinien_Physik#Subscripte beschreibt ausdrücklich, dass Subskripte, die keine physikalische Größe benennen nicht kursiv zu setzen sind. Daher ist durchgängig $r_{\rm {S}}$ bzw. aus ästehthischen Gründen $r_{\rm {s}}$ oder $r_{\mathrm {s} }$ zu benutzen. Aus Gründen der Artikellänge wäre <math>r_{\rm s}</math> die bevorzugte Schreibweise. Bitte bei zukünftigen Änderungen einpflegen.--Alturand (Diskussion) 20:20, 16. Mär. 2017 (CET)
2. Äußere Lösung - Geometrische Deutung: "Häufig" passt schon, denn es es gibt ja auch noch andere Ereignishorizonte die nicht am Schwarzschikdradius liegen, siehe z.B. den EH eines rotierenden SL oder den kosmischen EH. Streiche man "häufig" ersatzlos impliziert man "immer", man könnte alternativ dazu "in diesem Kontext" schreiben. --  ❇ (Diskussion) 20:26, 15. Mär. 2017 (CET)
3. Innere Lösung - Linienelement: Selbstverständlich gehört die korrekte und mit zwei Referenzen belegte Version aus der rechten Spalte wiederhergestellt. --  ❇ (Diskussion) 23:59, 5. Mär. 2017 (CET)
4. Äußere Lösung - Linienelement, rechte Spalte: Hinweis von Debenben aufgegriffen und die Konstante $A$ durch $E$ für die spezifische Gesamtenergie und die Konstante $B$ durch $L$ für den spezifischen Drehimpuls ersetzt. --83dot68 (Diskussion) 12:29, 13. Mär. 2017 (CET)
5. Äußere Lösung - Geodäten und Christoffel-Symbole: Da in der Folge auch von Nullgeodäten (lichtartiger Geodäten) die Rede ist („Photonenbahnen“), ist der Terminus „Bewegungsgleichungen“ irreführend. Als Lösung bietet sich an, allgemein die „Geodätengleichungen“ darzustellen mit den Unterscheidungsfällen zeitartiger, lichtartiger und raumartiger Geodäten. --Karl Hilpolt (Diskussion) 14:39, 12. Apr. 2017 (CEST)

Diskussion

Das aktuelle Thema lautet

Äußere Lösung -Bewegungsgleichungen 

Bitte unbedingt Quellen gemäß WP:Q angeben! 200 Wortgrenze beachten! Ein Thema zu einer Zeit! Eigene Beiträge aufräumen! Finger weg von fremden Beiträgen!

• Benutzer:Alturand:

Bisherige Änderungsvorschläge im Artikel verstetigt. Bitte, falls noch was falsch ist, Fehler für Fehler diskutieren.--Alturand (Diskussion) 19:17, 11. Apr. 2017 (CEST)

@83dot68:, @Yukterez: Schaut mal bitte, dass Ihr wieder unter 200 Worte kommt.--Alturand (Diskussion) 19:17, 11. Apr. 2017 (CEST)

• 83dot68 @Alturand: Ich stelle hiermit meine Mitarbeit an diesem Artikel ein. Warum ist offensichtlich. Viel Spaß noch. --83dot68 (Diskussion) 09:14, 23. Mär. 2017 (CET)

@Alturand: Genau das ist das Offensichtliche, m.M.n. Wieder muss ich mich rechtfertigen. Nicht zum ersten Mal. Das verärgert mich und verdirbt mir alle Lust, mich weiter zu engagieren. Ich habe alle meine Vorschläge immer ordentlich begründet – mit Text, mit Rechnung und auch mit Quellen. Da standen schon zwei Quellen von mir, ich werde aufgefordert eine weitere Quelle zu nennen. Warum? Wiegen drei korrekte Quellen mehr als zwei? Die Quelle von Y. war fehlerhaft. Er musste keine weitere nennen. Ich werde ohne Ende mit Vorwürfen konfrontiert, dass meine Rechnung falsch sei – ohne Nachweis, nur mit irgendwelchen Screenshots von Mathematica, wo nicht nachvollziehbar ist, was dort gerechnet wurde. Doch statt dass gefordert wird, dass diese Vorwürfe auch hier mit einer Rechnung belegt werden (was einfach möglich wäre), werde ich aufgefordert meine Position zu verteidigen. Das ist absurd und frustriert mich. Ich wünsche mir, dass meine Mitarbeit genau so geschätzt wird, wie andere Arbeit auch. Wenn nicht, auch gut. Wie du mir gleich zu Anfang erklärt hast, benötigt mich Wikipedia nicht. Das ist wahr. Wahr ist aber auch, dass das für alle gilt, nicht nur für mich.

„Versuch mir mal eine Geschichte ohne Formeln zu erzählen, das nutzt der WP:Allgemeinverständlichkeit ungemein!“ – gerne, leider hatte ich dazu noch keine Gelegenheit. Geschichten ohne Formeln würde ich auch gerne lesen. Hier den Anfang zu machen wäre reizvoll.

„Nach dem Vergleich mit den klassischen BGLen könnte man doch jetzt die Erhaltungsgrößen …“ – ganz recht – das würde ich auch gerne machen. Z.B. auch mit dem effektiven Potenzial $V_{eff}$. Aber ganz sicher nicht unter der derzeitigen Rahmenbedingung, dass sobald ich etwas schreibe, der Schrei: „Das ist falsch!“, ohne Begründung ertönt und ich dann wieder gezwungen bin, eine Rechtfertigung zu verfassen. Ich darf hier nichts schreiben, ohne dass es einer Sichtung bedarf. Als ich die falschen Vorzeichen der Christoffelsymbole korrigiert habe, wurde ich zweimal ohne Begründung revertiert. Meine Änderung bei der Kerr-Metrik wurde ohne Begründung revertiert. Immer von Y. Ich wurde sofort mit einer Vandalismusmeldung konfrontiert, mit einer absurden Begründung. Mir wurde erklärt, dass mich Wikipedia nicht benötigt. Ich habe es trotzdem versucht, aber diese Art der Wertschätzung hat sich kaum geändert. Ich muss mich rechtfertigen und meine Rechtfertigung landet dann im Offtopic, weil dich das nervt. Mich nervt das auch. Wikipedia benötigt mich nicht. --83dot68 (Diskussion) 21:14, 23. Mär. 2017 (CET)

• Benutzer:Yukterez: Nachdem meine Animation mit den Formeln aus dem Unterabschnitt der angeblich nicht mit Quellen belegt ist und deshalb bald gelöscht wird erstellt wurde, und nicht mit den Formeln aus dem Abschnitt der angeblich mit Quellen belegt ist (die Frage ist nur mit welcher, denn Quelle 4 belegt das r" im angeblich unbelegten Unterabschnitt, nicht die unentkoppelten Christoffelableitungen), kann ich sie dafür nicht zur Verfügung stellen. Wenn man das t' aus dem angeblich unbelegten Unterabschnitt entfernen will kann man auch gleich das ganze Linienelement entfernen, das Eine hängt nämlich vom anderen ab. Die angeblich unbelegten Abschnitte halte ich für sehr schön, vor allem die Spalten für E, L, r', Φ' und t' nur die Behauptung dass da irgendetwas unbelegt wäre ist grober Unfug. Wenn man etwas löschen sollte dann den angeblich belegten Abschnitt in dem die Animation stand, denn damit lässt sich erstens keine Animation erstellen und zweitens belegt Quelle 4 nicht diesen Abschnitt sondern die darunter stehenden. --  ❇ (Diskussion) 04:32, 12. Apr. 2017 (CEST)

• Benutzer:Blaues-Monsterle: Kompakt lauten drei von vier Bewegungsgleichungen: ${\ddot {x}}_{0}=0,{\ddot {x}}_{\phi }=0,{\ddot {x}}_{\theta }=({\dot {x}}^{\phi })^{2}r^{2}\cos \theta \sin \theta$. Dabei ist ein Punkt die Ableitung nach dem affinen Parameter $\lambda$, der im Fall massiver Teilchen die Eigenzeit sein kann. Konstanten der Bewegung sind $p_{0}=-{\tilde {E}}$ und $p_{\phi }={\tilde {L}}$. Ein ruhender Beobachter ($v_{\text{obs}}=(v^{0},0,0,0)$ mit $v^{\mu }v_{\mu }=-1$) misst die Energie $E=-p^{\mu }g_{\mu \nu }v_{\text{obs}}^{\nu }=-p^{\mu }g_{\mu 0}v^{0}=-p_{0}(-g_{00})^{-1/2}={\tilde {E}}{\sqrt {1-2M/r}}^{-1}$. Die "Energie" $E$ eines Teilchens ist somit keine Konstante; an ihre Stelle tritt das "Etwas" $p_{0}$. Um mal meine ausintegrierten Gleichungen in den Ring zu werfen

$m\left({\frac {dr}{d\lambda }}\right)^{2}={\frac {{\tilde {E}}^{2}}{m}}-(1-2M/r)\left(m+{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{mr^{2}}}\right)$

${\frac {d\phi }{d\lambda }}={\frac {\tilde {L}}{mr^{2}}}$

die mit Vorschlag 2 insofern übereinstimmen, als dass dort nicht stehen dürfte, $E$ sei die Energie. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 02:42, 24. Mär. 2017 (CET)

@Yukterez: Klar, auch mit GR kann man kein perpetuum mobile bauen. Natürlich ist ${\tilde {E}}^{2}=m^{2}c^{2}{\dot {r}}^{2}+m^{2}c^{4}+V^{2}(r)$ die Konstante und eine Energie, aber sie ist nicht das, was ich als Beobachter mit der Energie des Teilchens assoziiere. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 13:57, 24. Mär. 2017 (CET)

@Yukterez: Typos. Insofern gerade wegeditiert. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 00:38, 25. Mär. 2017 (CET)

• B wik
• Debenben

Der Kühlschrank

(mit Themen, die wir später noch mal aufwärmen und diskutieren müssen)

1. Vielleicht sollte man nochmal darüber nachdenken, die Schwarzschild-Koordinaten mit ihren Christoffelsymbolen in einen eigenen Artikel auszulagern und den Artikel über die Metrik und Eigenschaften der Metrik an sich zu schreiben. Überspitzt gesagt: Für jemanden, der in ein schwarzes Loch fliegt, ist der Artikel unverständlich. Der fliegt über den Schwarzschild-Radius und es passiert rein garnichts. Wenn man ihm Schwarzschild-Koordinaten aufdrückt, wüsste er nicht, was $t$ usw. sein soll. Der wählt keine Koordinaten, die ohne Grund singulär werden und nicht bis an seinen Ereignishorizont reichen, wenn er die Einsteingleichungen löst.--Debenben (Diskussion) 23:39, 6. Mär. 2017 (CET)
2. Ich finde nicht, dass der Abschnitt zu den Christoffelsymbolen jetzt besser ist. "Bewegungsgleichungen" sind eigentlich ehr die Euler-Lagrange-Gleichungen, das Wort kommt aus dem Abschnitt, in dem es um das frei fallende Testteilchen geht. Es war nicht mein Vorschlag, $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}$ oder die äquivalente Formulierung mit Christoffelsymbolen in den Artikel zu schreiben. ${\dot {t}}$ und ${\ddot {\phi }}$ im Artikel lassen sich z.B. herleiten ohne explizit Christoffel-Symbole zu benutzen… --Debenben (Diskussion) 21:32, 12. Mär. 2017 (CET)

Offtopic (bitte einrücken und signieren)

Dieser Abschnitt dient ausdrücklich NICHT dazu, die 200-Wort-Grenze de obigen Diskussion zu umgehen und hier mehrere Diskussionen parallel zu führen! "Nur EIN Thema zu einer Zeit!", aber bitte oben innerhalb der 200-Wort-Grenze. -- Alturand (Diskussion) 07:51, 5. Mär. 2017 (CET) @Alturand: Ich habe den Vorschlag rechts oben überarbeitet. --83dot68 (Diskussion) 20:15, 22. Mär. 2017 (CET)

@Yukterez: Was ist unter der „lokalen 3–er Geschwindigkeit“ zu verstehen? Wer oder was misst diese Geschwindigkeit? Welche Rolle spielt sie hier und warum ist sie wichtig? --83dot68 (Diskussion) 20:15, 22. Mär. 2017 (CET)

@Yukterez: Es kommen nirgendwo imaginäre Ergebnisse heraus. Und

${\dot {r}}=\pm {\sqrt {E^{2}-1+{\frac {2M}{r}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)r^{2}{\dot {\phi }}^{2}}}=\pm {\sqrt {E^{2}-1+{\frac {2M}{r}}-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}+\underbrace {{\frac {2M}{r}}{\frac {L^{2}}{r^{2}}}} _{\text{Zusatzterm ART}}}}$

lässt sich mit numerischen Standardverfahren nicht integrieren, denn es gilt ja ${\dot {r}}=\pm {\sqrt {(\cdot )}}$ und das numerische Verfahren müsste das Vorzeichen vor der Wurzel extra mitbestimmen, was Mathematica sicher nicht automatisch kann. Deshalb habe ich im Vorschlag auch den Abschnitt:

Für die numerische Integration sind diese Gleichungen in der folgenden Form geeignet:

${\dot {t}}={\frac {E}{(1-2M/r)}}$

${\dot {r}}=v_{r}$

${\dot {v}}_{r}={\ddot {r}}=-{\frac {M}{r^{2}}}+{\frac {L^{2}}{r^{3}}}-{\frac {3ML^{2}}{r^{4}}}$

${\dot {\phi }}={\frac {L}{r^{2}}}$

Die Integrationskonstanten $E,\,L$ für Teilchen mit $m\neq 0$ ergeben sich aus den Anfangsbedingungen $r(\tau =0)=r_{0},\,{\dot {r}}(\tau =0)={\dot {r}}_{0}$ und $\phi (\tau =0)=\phi _{0},\,{\dot {\phi }}(\tau =0)={\dot {\phi }}_{0}$ mit

$E={\sqrt {1+{\dot {r}}_{0}^{2}-{\frac {2M}{r_{0}}}+\left(1-{\frac {2M}{r_{0}}}\right)r_{0}^{2}{\dot {\phi }}_{0}^{2}}}$

und

$L=r_{0}^{2}{\dot {\phi }}_{0}$

geschrieben. Wenn du „garbage in“ machst, gibt es „garbage out“.

Abgesehen davon, ergibt die Integration die Bewegung des Teilchens mit der Eigenzeit als Parameter. D.h., wenn man erstmal auf die Koordinatenzeit verzichtet, reicht es die Gleichungen

${\dot {r}}=v_{r}$

${\dot {v}}_{r}={\ddot {r}}=-{\frac {M}{r^{2}}}+{\frac {L^{2}}{r^{3}}}-{\frac {3ML^{2}}{r^{4}}}$

${\dot {\phi }}={\frac {L}{r^{2}}}$

zu integrieren, dazu muss man $E$ noch nicht wissen. --83dot68 (Diskussion) 20:15, 22. Mär. 2017 (CET)