Adjungierter Operator

In der Funktionalanalysis kann zu jedem linearen Operator A ein adjungierter Operator $A^{*}$ definiert werden.

Lineare Operatoren können zwischen zwei Hilberträumen mit gemeinsamem Grundkörper K (K=C oder K=R), z.B. zwei endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen definiert werden. Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten Matrix. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren der Ausgangsmatrix.

Konstruktion des Adjungierten Operators

Zur Vereinfachung kann der Bild- und Definitionsraum als gleich angenommen werden. Des Weiteren unterscheidet man zwischen beschränkten und unbeschränkten Operatoren.

Definition für beschränkte Operatoren

Beschränkte Operatoren können auf dem gesamten Hilbertraum H definiert werden. In diesem Fall ist für jedes $y\in H$ die Funktion $f(\cdot )=\langle A\cdot ,y\rangle$ ein auf dem ganzen Hilbertraum H definiertes, lineares stetiges Funktional, da aus der Beschränktheit des auf ganz H definierten linearen Operators A die Stetigkeit von f folgt.

Der Darstellungssatz von Riesz liefert für jedes stetige Funktional $f$ ein eindeutig bestimmtes Element $z\in H$, sodass $f(x)=\langle x,z\rangle$ für alle $x\in H$. Also existiert für jedes $y\in H$ genau ein Element $z\in H$ mit $\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle$. Man bezeichnet dieses Element z mit $z=A^{*}y$, wobei $A^{*}$ der zu A adjungierte Operator genannt wird.

Weiter nützliche Eigenschaften des adjungierten Operators:

• $A^{*}$ ist beschränkt und $\|A\|=\|A^{*}\|=\|A^{*}A\|^{1/2}$.

• A,B beschränkte Operatoren auf H

$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$

• Kern und Bild: $Ker(A)\bot Im(A^{*})$

Definition für unbeschränkte Operatoren

Sei A ein unbeschränkter auf Hilbertraum H definierter Operator mit dichtem Definitionsbereich D(A). Dann definiert man den adjungierten Operator auf folgendem Definitionsbereich:

$D(A^{*})=\{y\in H:\exists z\in H\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \forall x\in D(A)\}$.

Aufgrund der Dichtheit von A ist das Element z eindeutig bestimmt und wird mit $A^{*}y$ bezeichnet.

Ein besondere Eigenschaft von unbeschränkten Operatoren ist die Selbstadjungiertheit.

Ein unbeschränkter Operator heißt selbstadjungiert, gdw. $A=A^{*}$

$D(A)=D(A^{*})$ und $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \forall x,y\in D(A^{*})$ gilt.

Ein unbeschränkter Operator heißt symmetrisch, gdw. $A\subset A^{*}$

$D(A)\subset D(A^{*})$ und $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \forall x,y\in D(A)$ gilt.

Hinweis: Für beschränkte Operatoren ist der Begriff selbstadjungiert und symmetrisch gleich, ein weiteres Synonym für den Begriff selbstadjungiert ist hermitesch und wird oft in der Quantenmechanik benutzt.

Weitere Eigenschaften:

• Sei A ein unbeschränkter dicht definierter Operator, dann gilt

$A^{*}A$ ist ein selbstadjungierter und positiver Operator.