Sehnenviereck

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf ein- und demselben Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck, dieses ist notwendigerweise konvex. Kurzform: ein Viereck mit einem Umkreis

Sätze über Sehnenvierecke (Auswahl)

Das Sehnenviereck wird mit ABCD bezeichnet.

Die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte sind gleich groß. Das heißt, wenn $P$ der Schnittpunkt von ${\overline {AC}}$ und ${\overline {BD}}$ (Diagonalenschnittpunkt) ist, so gilt ${\overline {AP}}\cdot {\overline {CP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}$ .

Die folgenden Sätze gelten nur für nicht überschlagene Sehnenvierecke ABCD:

Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°, also $\alpha +\gamma =\beta +\delta =180$ ° (Nachweis weiter unten).
Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$ .

Formeln zum Sehnenviereck
Flächeninhalt	$A\,=\,{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$
Flächeninhalt	$A\,=\,{\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}$
Seitenlängen	$a,\,b,\,c,\,d$
Halber Umfang	$s\,=\,{\frac {a+b+c+d}{2}}$
Diagonalenlängen	$e={\overline {AC}}={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\,,\,f={\overline {BD}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}$
Umkreisradius	$R={\frac {1}{4A}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}},$