ARMA-Modell

ARMA (AutoRegressive-Moving Average)-Modelle sind stochastische Modelle für stationäre, zeitdiskrete Prozesse. In das Modell fließen Rauschterme und gewichtete frühere Werte der Zeitreihe linear ein. ARMA-Modelle sind eines der Hauptwerkzeuge zur Vorhersage von beobachteten, stochastischen Signalen. Sind die zu modellierenden Signale nicht stationär, dann muss man sie gegebenenfalls vor der Modellierung differenzieren, um den Trend zu beseitigen.

MA-Modell

$y_{t}=\sum _{j=0}^{m}b_{i}\epsilon _{t-j}$

Das Signal setzt sich aus einem durch gleitendes Mittel der Länge m geglätteten Signal einer (nicht direkt messbaren) anderen Zeitreihe und einem Rauschterm zusammen.

AR-Modell

$y_{t}=\epsilon _{t}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{t-i}$

Das Signal setzt sich aus einem geglätteten Signal seiner n vorhergehenden Werte und einem Rauschterm zusammen.

ARMA-Modell

$y_{t}=\epsilon _{t}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{t-i}+\sum _{j=1}^{m}b_{i}\epsilon _{t-j}$

Dieses Modell wird auch als ARMA(n,m)-Modell bezeichnet, wobei n und m die Ordnung des Prozesses heissen.
Mit Hilfe des so genannten Verschiebungsoperators L (von lag=Zeitverschiebung):

$L^{d}x_{t}=x_{t-d}$

schreibt man kürzer auch:

$(1+\phi (L))y_{t}=(1+\theta (L))\epsilon _{t}$

wobei φ und θ beides endliche Polynome (der Grade n und m) darstellen:

$\phi (x)=\phi _{1}x+\cdots +\phi _{n}x^{n}$

Siehe auch: ARIMA-Modelle, Yule-Walker-Gleichungen, Autokorrelation