Elliptische Funktion

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen doppeltperiodische meromorphe Funktionen. „Doppeltperiodisch“ bedeutet, dass es zwei komplexe Zahlen $\omega _{1},\omega _{2}$ gibt, die keine reellen Vielfachen voneinander sind, so dass die beiden Funktionalgleichungen

$f(z+\omega _{1})=f(z)$ und $f(z+\omega _{2})=f(z)$

für alle $z$ erfüllt sind.

Das Periodengitter und die Grundmasche

Sind $f$ und $\omega _{1},\omega _{2}$ wie oben, so gilt auch

$f(z+\gamma )=f(z)$

für jedes $\gamma =\mu \omega _{1}+\lambda \omega _{2}$ mit ganzen Zahlen $\mu ,\lambda$. Die abelsche Gruppe

$\Gamma =\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}=\{\mu \omega _{1}+\lambda \omega _{2}\mid \mu ,\lambda \in \mathbb {Z} \}$

heißt das Periodengitter. Es ist ein vollständiges Gitter in $\mathbb {C}$.

Das von $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ aufgespannte Parallelogramm

$\{\mu \omega _{1}+\lambda \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\lambda \leq 1\}$

heißt Grundmasche des Gitters.

Einfache Eigenschaften

• Eine holomorphe elliptische Funktion ist konstant: sie ist beschränkt, da sie auf der Grundmasche bereits alle ihre Werte annimmt und die Grundmasche kompakt ist. Nach dem Satz von Liouville ist sie also konstant.
• Eine elliptische Funktion kann nicht genau einen einfachen Pol in der Grundmasche haben, da das Integral über den Rand der Grundmasche aufgrund der Periodizität verschwindet; dies schließt nach der cauchyschen Integralformel einen einfachen Pol aus.
• Entsprechende Aussagen gelten für die Nullstellen, da mit $f$ auch $1/f$ eine elliptische Funktion ist.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion

Zu einem Periodengitter $\Gamma$ existiert stets eine nicht konstante elliptische Funktion, die Weierstraßsche ℘-Funktion:

$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\gamma \in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\gamma )^{2}}}-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right).$

Im wesentlichen wird also $1/z^{2}$ durch Translationen zu einer $\Gamma$-invarianten Funktion gemacht; die Summanden $-1/\gamma ^{2}$ dienen lediglich dazu, die Reihe konvergent zu machen.

$\wp$ ist eine gerade elliptische Funktion, d.h. $\wp (-z)=\wp (z)$; ihre Ableitung

$\wp '(z)=-2\sum _{\gamma \in \Gamma }{\frac {1}{(z-\gamma )^{3}}}$

ist eine ungerade elliptische Funktion, d.h. $\wp '(-z)=-\wp '(z).$

Das zentrale Resultat der Theorie der elliptischen Funktionen ist die folgende Aussage:

Jede elliptische Funktion zum Periodengitter $\Gamma$ lässt sich als rationale Funktion in $\wp$ und $\wp '$ schreiben. Jede Relation zwischen $\wp$ und $\wp '$ folgt aus der Differentialgleichung der ℘-Funktion

$(\wp '(z))^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}(\Gamma )\wp (z)-g_{3}(\Gamma );$

dabei sind $g_{2}(\Gamma ),g_{3}(\Gamma )$ Konstanten, die von $\Gamma$ abhängen, genauer gesagt sind $g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma )$ und $g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma )$ Eisensteinreihen zum Gitter $\Gamma$.

In algebraischer Sprache bedeutet dieser Satz:

Der Körper der elliptischen Funktionen zum Periodengitter $\Gamma$ ist isomorph zum Körper

$\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})$;

unter diesem Isomorphismus wird $\wp$ auf $X$ und $\wp '$ auf $Y$ abgebildet.

Beziehung zu Ellipsen und Elliptischen Integralen

Der Name der Elliptischen Funktionen ist daraus entstanden, dass sie zuerst bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen verwendet wurden. Eine weitere Anwendung ist die Berechnung der Schwingungsdauer eines Pendels.

Die Umkehrfunktion der Elliptischen Funktion heißt Elliptisches Integral.

Verallgemeinerungen der elliptischen Funktionen sind die Hyperelliptische Funktionen.

Siehe auch

• Elliptische Kurve
• Jacobische elliptische Funktion
• Lemniskatische Sinus- und Cosinusfunktion
• Thetafunktion