Dies ist eine alte Version dieser Seite, zuletzt bearbeitet am 2. Mai 2006 um 20:24 Uhr durch 80.228.188.228(Diskussion)(Einrückung war sehr unglücklich - nun verschönert.). Sie kann sich erheblich von der aktuellen Version unterscheiden.
Die Normalgleichung (oder auch Normalengleichung) einer Ebene hat die Form
oder
wobei ein Normalenvektor der Ebene, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes ist, der in der Ebene liegt und der Vektor der Unbekannten ist.
Der Operator steht für das Skalarprodukt.
Jeder Punkt, dessen Ortsvektor die Gleichung erfüllt, liegt in der Ebene.
Punkte, deren Ortsvektoren die Normalgleichung nicht erfüllen, liegen (bezogen auf die Richtung des Normalenvektors)
vor der Ebene, wenn
hinter der Ebene, wenn .
Erklärung
Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes P der Ebene lässt sich als Summe
darstellen, wobei senkrecht zur Ebene (also parallel zu ) und parallel zur Ebene (also senkrecht zu ) verläuft.
Dann ist
,
weil (als Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren) stets 0 ist. Der Anteil ist aber für jeden in der Ebene liegenden Punkt der gleiche, also ist für jeden Punkt der Ebene konstant. Damit folgt die Normalform