Exakte Sequenz

Der Begriff der exakten Folge oder exakten Sequenz spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Folgen.

Definition

Eine Folge

$M'\longrightarrow M\longrightarrow M''$

von

• (abelschen) Gruppen und Gruppenhomomorphismen
• oder Vektorräumen und linearen Abbildungen
• oder allgemeiner Moduln und Modulhomomorphismen
• oder Objekten und Morphismen einer abelschen Kategorie

heißt exakt an der Stelle $M$, wenn

$\ker(M\to M'')=\mathrm {im} (M'\to M)$

gilt, d.h. wenn das Bild eines Pfeils gleich dem Kern des nächsten ist. Eine längere Folge

$M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{3}\longrightarrow M_{4}\longrightarrow M_{5}$

heißt exakt, wenn sie exakt an den Stellen $M_{2}$, $M_{3}$ und $M_{4}$ ist (analog für kürzere oder längere Folgen).

Beispiele

• Eine Folge

$0\longrightarrow M'\longrightarrow M$

ist genau dann exakt, wenn $M'\to M$ ein Monomorphismus ist.

• Eine Folge

$M\longrightarrow M''\longrightarrow 0$

ist genau dann exakt, wenn $M\to M''$ ein Epimorphismus ist.

• Für jeden Homomorphismus $f\colon M\to N$ von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Moduln, jeden Morphismus einer abelschen Kategorie) ist die Folge

$0\longrightarrow \ker f\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow \mathrm {coker} \,f\longrightarrow 0$

exakt. (Für beliebige Gruppen muss man noch voraussetzen, dass das Bild von $f$ ein Normalteiler in $N$ ist, so dass der Kokern existiert.)

• Für eine Gruppe $G$ seien
  • $Z(G)$ das Zentrum,
  • $\mathrm {Aut} \,G$ die Gruppe der Automorphismen,
  • $\mathrm {Inn} \,G$ die Gruppe der inneren Automorphismen und
  • $\mathrm {Out} \,G=\mathrm {Aut} \,G/\mathrm {Inn} \,G$ die Gruppe der äußeren Automorphismen

von $G$. Dann ist die Folge

$1\longrightarrow Z(G)\longrightarrow G\longrightarrow \mathrm {Aut} \,G\longrightarrow \mathrm {Out} \,G\longrightarrow 1$

exakt. Der mittlere Pfeil ist dabei durch

$g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})\in \mathrm {Inn} \,G\subseteq \mathrm {Aut} \,G$

gegeben.

Kurze exakte Folgen

Eine exakte Folge der Form

$0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0$

heißt kurze exakte Folge.

Eine kurze exakte Folge spaltet oder ist spaltend, wenn sie isomorph zu einer kurzen exakten Folge der Form

$0\longrightarrow N'\longrightarrow N'\oplus N''\longrightarrow N''\longrightarrow 0$

ist. Eine kurze exakte Folge spaltet genau dann, wenn

• $M\to M''$ einen Schnitt oder
• $M'\to M$ eine Retraktion hat.

Die jeweilige Abbildung heißt dann auch Spaltung der kurzen exakten Folge.

Aufspaltung einer langen exakten Folge

Jede lange exakte Folge lässt sich in kurze exakte Folgen zerlegen, indem man Kerne und Kokerne einfügt: Ist

$M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{3}\longrightarrow M_{4}\longrightarrow M_{5}$

eine exakte Folge, so sei

$Z_{n}:=\ker(M_{n}\to M_{n+1})=\mathrm {im} (M_{n-1}\to M_{n})=\mathrm {coker} (M_{n-2}\to M_{n-1}).$

Dann gibt es kurze exakte Folgen

$0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow M_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0.$

Ist $(M_{*})$ ein Kettenkomplex, so ist die Exaktheit der kurzen Folgen äquivalent zur Exaktheit der langen Folge.

Erweiterungen

Im Kontext einer kurzen exakten Folge

$0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0$

sagt man auch, dass $M$ eine Erweiterung von $M''$ durch $M'$ ist.

Siehe Ext (Mathematik), Gruppenkohomologie

Siehe auch

• Exakter Funktor
• Kettenkomplex