Diskussion:Untermannigfaltigkeit

Der beschriebene Begriff ist "eingebettete Untermannigfaltigkeit" (oder immersiert? ich bin mir da immer unsicher). "Untermannigfaltigkeit" ist allgemeiner, also zB auch das Bild von

$\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,t{\sqrt {2}})$

unter der Projektion

$\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}/\mathbf {Z} ^{2}$

als Untermannigfaltigkeit des Torus.--Gunther 12:22, 13. Mär 2005 (CET)

Die im Artikel angegebene Definition stimmt mit der in den zwei Literaturquellen überein. Aus meiner Sicht wäre die einzige mögliche Verallgemeinerung,

unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten zuzulassen (siehe [Abraham,Marsden,Ratiu]). Aber davon würde ich in diesem Wiki absehen. --Benutzer:TN

Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$

Die Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$ ist kritisch. Zum Beispiel ist

$\mathbb {R} ^{n}\times \{0\}$ mit $0\in \mathbb {R} ^{m-n}$

nicht das selbe wie

$\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}\mid x_{n+1}=\ldots =x_{m}=0\right\}$.

Das erste ist eine Paarmenge und das zweite ein Unterraum des $\mathbb {R} ^{m}$. Falls, wie üblich, diese Mengen miteinander identifiziert werden sollen, so muss ein Hinweis darauf in den Artikel.

Eine Alternative wäre, zu sagen, dass die Kartenabbildungen $\phi$ in einen Banachraum $B$ abbilden und mit einem Unterraum ${\bar {B}}$ von $B$ für jeden Punkt $x\in N$ eine Karte $(\phi ,U)$ mit $x\in U$ existieren muss, die der Bedingung $\phi (U\cap N)={\bar {B}}\cap \phi (U)$ genügt.

Das würde dann sogar den Fall unendlichdimensionaler Untermannigfaltigkeiten mit abdecken.