Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, die die Trägheit eines Körpers bei Rotationsbewegungen beschreibt. Sie ist damit das Gegenstück zur (trägen) Masse der Translationsbewegungen.

Bedeutung des Trägheitsmomentes

Die Bedeutung des Trägheitsmoments soll hier durch Vergleich zwischen einer geradlinigen Translationsbewegung (also der Bewegung entlang einer Geraden) und einer Drehbewegung erfolgen:

• Um z.B. ein Fahrrad und einen Eisenbahnwagen auf die selbe Geschwindigkeit zu beschleunigen, so ist intuitiv klar, dass wir für die selbe Beschleunigung den Eisenbahnwagen viel kräftiger anschieben müssen als das Fahrrad. Die Stärke der nötigen Kraft hängt mit der Masse zusammen.
• Für Rotationsbewegungen ist die Sache weniger einfach: Wenn wir zwei gleich schwere Kugeln zum Drehen bringen wollen, die eine aus Blei, die andere aus Holz, so könnte man annehmen, dass man hier wegen der selben Masse auch das selbe Drehmoment (das Pendant zur Kraft) aufbringen muss. Dies ist jedoch nicht der Fall: Je weiter außen die Masse sitzt, desto größer das benötigte Drehmoment um die beiden Kugeln in gleichschnelle Drehung zu versetzen. Da die Holzkugel bei gleicher Masse viel größer ist, benötigen wir hier ein größeres Drehmoment. Diese Eigenschaft der beiden Kugeln, wie schwer sie in Drehung zu versetzen sind, nennt man Trägheitsmoment. (Beispiel zur Änderung des Trägheitsmoments bei konstanter Masse, zum selbst ausprobieren: auf einem Schreibtischstuhl Arme und Beine nach außen strecken, und sich dann in Drehung versetzen. Durch Anziehen von Armen und Beinen nimmt das Trägheitsmoment ab was zur Folge hat, dass die Drehbewegung schneller wird, siehe auch Drehimpuls)

Berechnung

Das Trägheitsmoment I ist immer in Bezug auf die jeweilige Drehachse zu sehen und berechnet sich, wenn man einzelne Massenpunkte des drehenden Körpers betrachtet, wie folgt:

$I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$

m ist dabei die Masse des jeweiligen Teilchens, r der Abstand des Teilchens von der Drehachse. Es werden also alle Massen im Produkt mit dem Quadrat des Abstandes von der Achse aufsummiert.

Für das Trägheitsmoment um die x-Achse heißt das Konkret:

$I_{x}=\sum _{i}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})$

Da in der Realität keine einzelnen Massenpunkte ohne Ausdehnung vorkommen, und man daher einen Körper in der Regel mit kontinuierlicher Massenverteilung betrachten wird, benutzt man in diesem Fall die Integralschreibweise:

$I=\int r^{2}\,{\mbox{d}}m$

dm ist dabei das so genannte Massenelement.
Das Integral von dm über den ganzen Körper entspricht dessen Masse m.

Durch das Trägheitsmoment lässt sich bei gegebener Winkelgeschwindigkeit bzw. -beschleunigung der Drehung der Drehimpuls und das Moment ermitteln:

${\vec {L}}={\vec {\omega }}I_{\omega }\Rightarrow {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}=I_{\omega }{\dot {\vec {\omega }}}$

Trägheitsmomente bei Himmelskörpern

Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des Himmelskörpers.

Die Differenz dieses "polaren" und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter sind diese Relativwerte rund 20mal größer.

Das Trägheitsmoment eines Himmelskörpers lässt wegen r² im obigen Integral auf die innere Konzentration seiner Masse schließen. Jenes der Erde ist viel kleiner, als wenn sie homogen aufgebaut wäre. Daraus kann man errechnen, dass der Erdkern aus Eisen (oder metallisch verdichtetem Wasserstoff) besteht.

Trägheitsmomente einfacher geometrischer Körper

Abbildung	Beschreibung	Trägheitsmoment
	Punktmasse im Abstand $r$ um eine Drehachse	$J=m\cdot r^{2}$
	Zylindermantel um seine Körperachse rotiert	$J=m\cdot r^{2}$
	Vollzylinder um seine Körperachse rotiert	$J={1 \over 2}m\cdot r^{2}$
	Hohlzylinder um seine Körperachse rotiert	$J={1 \over 2}m\cdot (r_{2}^{2}+r_{1}^{2})$
	Vollzylinder um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert	$J={1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}$
	Zylindermantel um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert	$J={1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}$
	Dünner Stab um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert	$J={1 \over 12}m\cdot l^{2}$
	Dünner Stab um sein Ende senkrecht zu seiner Körperachse rotiert	$J={1 \over 3}m\cdot l^{2}$
	Kugelschale um ihren Schwerpunkt rotiert	$J={2 \over 3}m\cdot r^{2}$
	Massive Kugel um ihren Schwerpunkt rotiert	$J={2 \over 5}m\cdot r^{2}$
	Quader um seinen Schwerpunkt rotiert	$J={1 \over 12}m\cdot (a^{2}+b^{2})$

Die Steiner-Regel

Die obenstenden Trägheitsmomente (mit Ausnahme von a), dem Masseteilchen, und h), dem Stab, der um sein Ende rotiert) sind nur dann gültig, wenn die Drehachse der geometrischen Achse des Körpers entspricht, d.h. durch den Schwerpunkt geht. Andernfalls kann die Steiner-Regel (auch: Steiner'scher Satz) angewendet werden:

$I=I_{G}+ml^{2}$

Hier ist I_G das Trägheitsmoment für den Fall dass die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. m ist die Masse des Körpers und l der Abstand von Drehachse und Schwerpunkt.

oder in Worten:

Das Trägheitsmoment eines starren Körpers in bezug auf eine Achse A ist gleich dem Trägheitsmoment des Körpers in bezug auf eine zu A parallele Achse durch seinen Massenmittelpunkt plus dem Produkt aus Masse m des Körpers und Quadrat des Abstandes l beider Achsen.

Siehe auch

Flächenträgheitsmoment