Platonischer Körper
Seit Platon (ca. 428-347 v. Chr.) sind die fünf einzig möglichen Polyeder (Vielflächer) bekannt, deren Begrenzungsflächen alle kongruente regelmäßige Vielecke sind, und deren Ecken alle die gleiche Zahl angrenzender Flächen/Kanten haben. Diese regelmäßigen Polyeder wurden in Platons Akademie intensiv untersucht. Darüber hinaus gibt es noch die 13 sogenannten semiregulären oder Archimedischen Körper. Sie bestehen allesamt auch aus regelmäßigen Vielecken, jedoch mit unterschiedlichen Eckenzahlen, und die einzelenen Polyederecken müssen durch Symmetrieabbildung aufeinander abgebildet werden können.
Warum die Zahl der Platonischen Körper beschränkt sein muss
Jede Ecke eines konvexen Polyeders zeigt "nach außen". Dies ist nur möglich, wenn die Summe der Innenwinkel der an einer Ecke aufeinander treffenden Flächen kleiner als 360° ist -- denn bei 360° bildet man keine Ecke mehr, sondern eine Fläche, und über 360° "passt" das ganze überhaupt nicht mehr. Mindestens 3 Flächen treffen sich an jeder Ecke eines Polyeders. Daher dürfen an der Ecke eines platonischen Körpers nur aneinanderstoßen: 3, 4 oder 5 Dreiecke, 3 Vierecke, oder 3 Fünfecke. 6 Dreiecke, 4 Vierecke, oder 3 Sechsecke ergeben nämlich schon 360°, und 4 Fünfecke überschreiten die 360° bereits. Somit gibt es nur 5 mögliche Kombinationen, und damit nur 5 mögliche Platonische Körper.
Tetraeder
Tetraeder (4 Ecken, 6 Kanten, 4 Dreiecke als Flächen)
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Hexader und Oktaeder
- Hexaeder und Oktaeder stehen in Zusammenhang miteinander. Das zeigt sich darüber, das beide zu dem Kuboktaeder und dem zu dem Rhombendodekaeder, welches der Dual-Archimedische Körper zu dem Kuboktaeder ist, führen, Auch die identische Anzahl der Kanten und die vertauschte Anzahl der Flächen und Ecken (wo der Hexaeder seine Flächen hat, hat der Oktaeder seine Ecken, und umgekehrt).
Hexaeder
- Hexaeder oder Kubus oder Würfel (8 Ecken, 12 Kanten, 6 Quadrate als Flächen)
- Der Hexaeder gehört auch zu den Prismen, mit einer ähnlichen Sonderstellung, wie es das Tetraeder zu den Pyramiden besitzt.
- Der Hexaeder läßt sich so in zwei Teile schneiden, das die Schnittfläche ein gleichseitiges Sechseck ergibt. Vier solcher Sechsecke stecken in einem Hexaeder.
Oktaeder
- Oktaeder (6 Ecken, 12 Kanten, 8 gleichseitige Dreiecke als Flächen)
Dodekaeder und Ikosaeder
Wie Hexaeder und Oktaeder stehen auch Dodekaeder und Ikosaeder in enger Beziehung zueinander. Ihre gemeinsamen Archimedischen Körper sind der Europafußball und der zu diesem duale Rhombentriakontaeder.
Dodekaeder
- Dodekaeder (20 Ecken, 30 Kanten, 12 regelmäßige Fünfecke als Flächen)
Ikosaeder
- Ikosaeder (12 Ecken, 30 Kanten, 20 gleichseitige Dreiecke als Flächen)
Der Eulersche Polyedersatz stellt die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug:
- Flächen + Ecken = Kanten + 2
(Diese Formel gilt für alle konvexen und viele andere Polyeder, nicht nur für die Platonischen Körper.)
Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen in der Natur als Kristalle vor; ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich in Quasikristallen.
Die Körper wurden im antiken Griechenland den Elementen zugeordnet: Feuer: Tetraeder, Wasser: Ikosaeder, Luft: Oktaeder, Erde: Würfel, Geist / Quintessenz oder Äther: (Dodekaeder).
Jeder platonische Körper hat eine Innenkugel, die alle seine Flächen berührt, und eine Außenkugel, auf der alle seine Ecken liegen. Johannes Kepler gelang es 1596, die Bahnradien der damaligen sechs Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Bei der Suche nach solchen Harmonien entdeckte er auch zwei regelmäßige Sternkörper.
Eine eher moderne Anwendung finden die platonischen Körper als Würfel im Fantasy-Rollenspiel.
Die hohe Symmetrie der Platonischen Körper kommt auch in ihren Punktgruppen zum Ausdruck: siehe Tetraedergruppe, Ikosaedergruppe.
Weblinks
- http://www.walter-fendt.de/m11d/platon.htm - Grafische Verdeutlichung anhand eines Java-Applets
- http://www.saar.de/~luci/Raumzahl/PlatonischesMobile.html
- Platonische Körper aus Flechtstreifen