Darstellungsring

Der Darstellungsring einer Gruppe ist in der Mathematik vor allem in der Darstellungstheorie, aber auch in Algebra, Topologie und K-Theorie von Bedeutung.

Definition

Der Darstellungsring einer Gruppe $G$ wird definiert als die abelsche Gruppe

$R(G)=\{\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}|a_{j}\in \mathbb {Z} ,\tau _{j},j=1,\dotsc ,m\,\,{\text{ alle}}{\text{ irreduziblen}}{\text{ Darstellungen}}{\text{ von }}G{\text{ über }}\mathbb {C} \,\,{\text{ bis}}{\text{ auf}}{\text{ Isomorphie}}\},$

die mit Addition durch die direkte Summe von Darstellungen und Multiplikation durch das Tensorprodukt zum Ring wird. Die Elemente von $R(G)$ heißen virtuelle Darstellungen.

Operationen

Direkte Summe

Seien $(\rho _{1},V_{\rho _{1}})$ und $(\rho _{2},V_{\rho _{2}})$ zwei Darstellungen einer Gruppe $G$. Die direkte Summe von Darstellungen definiert eine Addition

$\left[\rho _{1}\right]+\left[\rho _{2}\right]:=\left[\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right]$

auf $R(G)$.

Tensorprodukt

Seien $G_{1}$ und $G_{2}$ zwei Gruppen mit jeweiligen Darstellungen $(\rho _{1},V_{\rho _{1}})$ und $(\rho _{2},V_{\rho _{2}}),$ dann ist $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ eine Darstellung des direkten Produkts $G_{1}\times G_{2}$, das Tensorprodukt der beiden Darstellungen. Das definiert einen Homomorphismus

$R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})\to R(G_{1}\times G_{2}),$

wobei $R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})$ das Tensorprodukt der Darstellungsringe als $\mathbb {Z} -$Moduln ist. Für $G_{1}=G_{2}$ erhält man durch Verknüpfung mit dem durch die Diagonaleinbettung $G\to G\times G$ definierten Homomorphismus $R(G\times G)\to R(G)$ insbesondere eine Multiplikation

$R(G)\otimes _{\mathbb {Z} }R(G)\to R(G)$.

Äußeres Produkt

Für jede Darstellung einer Gruppe $G$ und jede natürliche Zahl $n$ kann man das $n$-te äußere Produkt definieren, welches wiederum eine Darstellung von$G$ ist. Dies definiert eine Folge von Operationen

$\lambda ^{n}\colon R(G)\to R(G)$,

die $R(G)$ zu einem λ-Ring machen.

Adams-Operationen

Die Adams-Operationen $\Psi ^{k}\colon R(G)\to R(G)$ auf dem Darstellungsring einer kompakten Gruppe werden durch ihre Wirkung auf Charakteren definiert:

$\Psi ^{k}(\chi (g))=\chi (g^{k})$.

Sie definieren Ringhomomorphismen und ihre Wirkung auf $d$-dimensionalen Darstellungen läßt sich beschreiben durch

$\Psi ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho ,\Lambda ^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda ^{d}\rho )$

wobei $\Lambda ^{i}\rho$ die äußeren Potenzen von $\rho$ sind und $N_{k}$ die $k$-te Potenzsumme als Summe der elementarsymmetrischen Funktionen in $d$ Variablen ausdrückt.

Beispiele

• Für die zyklische Gruppe $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ist

$R(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \left[X\right]/(X^{n}-1)$,

wobei $X$ einer 1-dimensionalen Darstellung entspricht, die den Erzeuger von $/Z/n\mathbb {Z}$ auf eine $n$-te primitive Einheitswurzel abbildet.

• Für die symmetrische Gruppe $S_{3}$ ist

$R(S_{3})=\mathbb {Z} \left[X,Y\right]/(XY-Y,X^{2}-1,Y^{2}-X-Y-1)$,

wobei $X$ der 1-dimensionalen alternierenden Darstellung und $Y$ der 2-dimensionalen irreduziblen Darstellung von $S_{3}$ entspricht.

• Für die Kreisgruppe $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ist

$R(S^{1})=\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]$.

• Für die spezielle unitäre Gruppe $SU(n)$ ist

$R(SU(n))=\mathbb {Z} \left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]/(X_{1}\ldots X_{n}-1)$,

wobei $X_{i}$ der Darstellung entspricht, die eine Diagonalmatrix auf ihren $i$-ten Diagonaleintrag abbildet.

Darstellungsringe kompakter Gruppen

Im Folgenden sei $G$ eine kompakte (z.B. endliche) Gruppe.

Charaktere und Darstellungsringe

Der Charakter definiert einen Ringhomomorphismus in die Menge aller Klassenfunktionen auf $G$ mit komplexen Werten

${\begin{aligned}\chi :R(G)&\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}&\mapsto \sum a_{j}\chi _{j},\end{aligned}}$

wobei $\chi _{j}$ die zu $\tau _{j}$ gehörigen irreduziblen Charaktere sind.

Für kompakte Gruppen $G$ wird eine Darstellung durch ihren Charakter festgelegt, demzufolge ist $\chi$ injektiv. Die Bilder von $\chi$ heißen virtuelle Charaktere.
Da die irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis von $\mathbb {C} _{\text{class}}$ bilden, induziert $\chi$ einen Isomorphismus

$\chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} _{\text{class}}(G),$

indem man die Abbildung auf einer Basis aus reinen Tensoren $(\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\dotsc ,m}$ definiert durch $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}$ bzw. $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},$ und dann bilinear fortsetzt.

Wir schreiben ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ für die Menge aller Charaktere auf $G$ und ${\mathcal {R}}(G)$ für die von ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ erzeugte Gruppe, d. h., für die Menge aller Differenzen von zwei Charakteren. Es gilt

${\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,{\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).$

Damit gilt also $R(G)\cong {\mathcal {R}}(G),$ also entsprechen sich virtuelle Charaktere und virtuelle Darstellungen in optimaler Weise.

Da ${\text{Im}}(\chi )={\mathcal {R}}(G),$ ist ${\mathcal {R}}(G)$ die Menge aller virtuellen Charaktere. Da das Produkt zweier Charaktere einen Charakter liefert, ist ${\mathcal {R}}(G)$ ein Unterring des Rings $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ aller Klassenfunktionen auf $G.$ Da die $\chi _{i}$ eine Basis von $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ bilden, erhalten wir, wie schon für $R(G),$ die Isomorphie $\mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$

Einschränkung und Induktion

Sei $H$ eine Untergruppe von $G,$ so definiert die Einschränkung einen Ringhomomorphismus

${\begin{aligned}{\mathcal {R}}(G)&\to {\mathcal {R}}(H)\\\phi &\mapsto \phi |_{H},\end{aligned}}$

den wir mit ${\text{Res}}_{H}^{G}$ oder ${\text{Res}}$ bezeichnen. Ebenso definiert die Induktion auf Klassenfunktionen einen Homomorphismus abelscher Gruppen $\textstyle {\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),$ der mit ${\text{Ind}}_{H}^{G}$ bzw. ${\text{Ind}}$ bezeichnet wird.
Nach der Frobeniusreziprozität sind die beiden Homomorphismen adjungiert zueinander bezüglich der bilinearen Formen $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}$ und $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.$ Weiterhin zeigt die Formel

${\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi ,$

dass das Bild von ${\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ ein Ideal des Ringes ${\mathcal {R}}(G)$ ist.
Analog kann man über die Einschränkung von Darstellungen die Abbildung ${\text{Res}}$ und über die Induktion die Abbildung ${\text{Ind}}$ für $R(G)$ definieren. Mit der Frobeniusreziprozität erhält man dann, dass die Abbildungen adjungiert zueinander sind und dass das Bild ${\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))$ ein Ideal in $R(G)$ ist.

Falls $A$ ein kommutativer Ring ist, lassen sich die Homomorphismen ${\text{Res}}$ und ${\text{Ind}}$ zu $A$-linearen Abbildungen fortsetzen:

${\begin{aligned}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)&\to A\otimes R(H)\\(a\otimes \sum a_{i}\tau _{i})&\mapsto (a\otimes \sum a_{i}{\text{Res}}(\tau _{i}))\end{aligned}}$

${\begin{aligned}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)&\to A\otimes R(G)\\(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j})&\mapsto (a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})),\end{aligned}}$

wobei $\eta _{j}$ die irreduziblen Darstellungen von $H$ bis auf Isomorphie sind.

Mit $A=\mathbb {C}$ erhalten wir insbesondere, dass ${\text{Ind}}$ und ${\text{Res}}$ Homomorphismen zwischen $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ und $\mathbb {C} _{\text{class}}(H)$ liefern.

Maximale Tori

Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe $G$ hat man einen durch Einschränkung definierten Isomorphismus

$R(G)\simeq R(T)^{W}$,

wobei $T\subset G$ ein maximaler Torus und $W$ die auf $T$ wirkende Weyl-Gruppe ist.

Darstellungsring des Produkts kompakter Gruppen

Alle irreduziblen Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ sind genau die Darstellungen $\eth _{1}\otimes \eta _{2}$, für die $\eta _{1},\eta _{2}$ irreduzible Darstellungen von $G_{1}$ bzw. $G_{2}$ sind. Dies überträgt sich auf den Darstellungsring als Identität

$R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}).$

Satz von Artin

→ Hauptartikel: Induzierte Darstellung#Satz von Artin

Sei $X$ eine Familie von Untergruppen einer endlichen Gruppe $G.$ Sei ${\text{Ind}}\colon \bigoplus _{H\in X}R(H)\to R(G)$ der Homomorphismus, definiert durch die Familie der ${\text{Ind}}_{H}^{G},\,\,H\in X.$ Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

• Der Kokern von ${\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}R(H)\to R(G)$ ist endlich.
• $G$ ist die Vereinigung der Konjugate der zu $X$ gehörenden Untergruppen, also $G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.$

Beziehung zur K-Theorie

Der Darstellungstheorie ist isomorph zur algebraischen K-Theorie der Gruppenalgebra:

$R(G)\simeq K_{0}(\mathbb {C} G)$.

Der Darstellungsring einer kompakten Lie-Gruppe ist isomorph zur äquivarianten K-Theorie des Punktes:

$R(G)\simeq K_{G}(*)$.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977.
• Graeme Segal: The representation ring of a compact Lie group, Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques January 1968, Volume 34, Issue 1, pp 113-128

Weblinks

• Representation Ring (nLab)