aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Mathematik > Analysis > Differentialrechnung > Ableitungsregeln
Wenn die Funktionen u und v an der Stelle x = xa mit v(xa )≠0 differenzierbar sind, dann ist auch die Funktion f mit
f
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}}
an der Stelle xa differenzierbar und es gilt:
f
′
(
x
a
)
=
u
′
(
x
a
)
⋅
v
(
x
a
)
−
v
′
(
x
a
)
⋅
u
(
x
a
)
(
v
(
x
a
)
)
2
{\displaystyle f'(x_{a})={\frac {u'(x_{a})\cdot v(x_{a})-v'(x_{a})\cdot u(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}}
In Kurzschreibweise:
(
u
v
)
′
=
(
u
′
v
−
v
′
u
v
2
)
{\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'=\left({\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\right)}
Der Quotient
u
(
x
)
v
(
x
)
{\displaystyle u(x) \over v(x)}
Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann
Δ
(
u
v
)
=
u
+
Δ
u
v
+
Δ
v
−
u
v
{\displaystyle {\Delta \left({u \over v}\right)}={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}}
=
(
u
+
Δ
u
)
⋅
v
−
u
⋅
(
v
+
Δ
v
)
(
v
+
Δ
v
)
⋅
v
{\displaystyle ={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}}
=
u
⋅
v
+
Δ
u
⋅
v
−
u
⋅
v
−
u
⋅
Δ
v
v
2
+
Δ
v
⋅
v
{\displaystyle ={{u\cdot v+\Delta u\cdot v-u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}}
=
Δ
u
⋅
v
−
u
⋅
Δ
v
v
2
+
Δ
v
⋅
v
{\displaystyle ={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}}
Dividiert man durch Δx, so folgt
Δ
(
u
v
)
Δ
x
=
Δ
u
Δ
x
⋅
v
−
u
⋅
Δ
v
Δ
x
v
2
+
Δ
v
⋅
v
{\displaystyle {{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}}
Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird
(
u
v
)
′
=
u
′
⋅
v
−
u
⋅
v
′
v
2
{\displaystyle {\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}}
wie behauptet.
