Deming-Regression

In der Statistik wird mit der Deming-Regression eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare (x_i, y_i) nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Im Unterschied zur linearen Regression werden Residuen (Messfehler) sowohl für die x- als auch für die y-Werte in das Modell einbezogen.

Die Deming-Regression ist ein Spezialfall der Regressionsanalyse und beruht auf einer Maximum-Likelihood-Schätzung der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient δ ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von C.H. Kummell (1879) zurück; 1937 wurde die Methode von T.C. Koopmans wieder aufgegriffen und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W. E. Deming für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall δ = 1.

Rechenweg

Die gemessenen Werte x_i und y_i werden als Summen der "wahren" Werte x_i* bzw. y_i* und der "Fehler" η_i bzw. ε_i aufgefasst, d.h. (x_i, y_i) = (x_i* + η_i , y_i* + ε_i). Die Datenpaare (x_i*, y_i*) liegen auf der zu berechnenden Geraden. η_i und ε_i seien unabhängig mit bekanntem Quotienten der Fehlervarianzen δ = σ_ε²/σ_η².

Es wird eine Gerade

y = β₀ + β₁x

gesucht, die die gewichtete Summe der quadrierten Residuen minimiert:

$SSR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}+{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{i}^{*}}SSR$

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$     (arithmetisches Mittel der x_i)

${\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}$     (arithmetisches Mittel der y_i)

$s_{x}^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$     (Stichprobenvarianz der x_i)

$s_{y}^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$     (Stichprobenvarianz der y_i)

$s_{xy}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})$     (Stichprobenkovarianz der (x_i, y_i))

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:

$\beta _{1}={\frac {s_{y}^{2}-\delta s_{x}^{2}+{\sqrt {(s_{y}^{2}-\delta s_{x}^{2})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}}$

$\beta _{0}={\overline {y}}-\beta _{1}{\overline {x}}$

Die x*-Koordinaten berechnet man mit

$x_{i}^{*}=x_{i}+{\frac {\beta _{1}}{\beta _{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i})$